Relativistisch-kovariantes Äthermodell

QFT, QED, Allgemeine Relativität, elastisch, Materialgesetz, GUT, Gravitation, Wechselwirkungen

Idee: In diesem Kapitel wird das vierdimensionale, relativistisch kovariante Äthermodell begründet und eingeführt. Erstmals wird der Übergang zwischen kleinsten Gitterstrukturen und makroskopischer Beschreibung skizziert. Die Beschreibung reicht aus, um sowohl quantenmechanische als auch makroskopische physikalische Konstanten als Elastizitätskonstanten zu interpretieren. Dadurch kann als erstes Resultat die Gravitationskonstante aus quantenmechanischen Grössen berechnet werden.

 

Ausgangslage

Das Standardmodell der Teilchenphysik und die allgemeine Relativitätstheorie

Die heutige Physik wird erfolgreich beschrieben durch das Standardmodell der Teilchenphysik und die allgemeine Relativitätstheorie. Einige Aspekte dieser Modelle sind in einem separaten Artikel zusammengefasst.

Schwierigkeiten des Status quo

Obwohl in vielen Belangen erfolgreich, erfüllt das Gebäude der heutigen Physik mehrere Punkte nicht:

Eine mathematische Vereinigung des Standardmodells der Teilchenphysik und der allgemeinen Relativität ist bisher nicht gelungen.

Ferner können die beiden Theorien nicht erklären, was Materie eigentlich ist, sie erklären wie Materie wechselwirkt, aber nicht warum.

Zum Schluss der Punkt, der für diese Arbeit am Entscheidendsten ist: beide Theorien gehen von einem Vakuum aus, einer „Leere“, in welchem sich die Materie („Teilchen“) bewegt. Dadurch war es bisher unmöglich, für einige messbare Effekte Erklärungen zu finden:

• Vakuumfluktuation: Im Vakuum entstehen laufend neue Teilchen und Antiteilchen, mit spürbaren Effekten. Damit ist das Vakuum nicht „leer“, wie im ursprünglichen Sinn gefordert.
• Higgs-Feld: Noch stärker sichtbar wird diese Diskrepanz mit der Einführung des Higgs-Feldes in die Theorie. Es handelt sich dabei um ein Feld, das in der ganzen Raumzeit einen Vakuumerwartungswert hat, der nicht null ist. In der Interpretation bedeutet dies, dass überall „Etwas“ ist, und nicht nichts sein kann, denn „nichts“ ist nur mit einem Vakuumerwartungswert von null zu vereinbaren.
• Dunkle Energie: In der allgemeinen Relativität tritt ein ähnliches Problem auf: aktuelle Messungen der Ausdehnung des Universums lassen sich nur erklären, indem eine Konstante eingeführt wird, welche in der ganzen Raumzeit einen Wert ungleich null annimmt, die kosmologische Konstante. Da im aktuellen Modell völlig unklar ist, worin die Ursache dieser Konstante liegt, wird die zugrunde liegende Energie mit dem Term „dunkle Energie“ betitelt.

 

Idee

Um die genannten Schwierigkeiten zu überwinden, wird ein Modell erstellt, in welchem dem Vakuum Eigenschaften zugewiesen werden; das Vakuum also durch einen Stoff ersetzt wird wie in einem Äther-Modell. Das neue Modell muss jedoch gleichzeitig relativistisch kovariant sein, und wird deshalb RK-Äther-Modell genannt.

Die relativistische Kovarianz ist möglich, indem ein konsequent vierdimensionales Stoffmodell entwickelt wird und die Überlegungen aus Kapitel 1 miteinbezogen werden. Die Details dazu werden im nächsten Abschnitt ausgeführt.

(Bisherige, widerlegte Äther-Theorien werden hier nicht weiter behandelt. Interessierte Leser finden eine umfassende, aktuelle Übersicht mit vielen weiterführenden Referenzen z.B. in der Einleitung von ; einen historischen Überblick gibt ; als Nebenbemerkung ist ist auch der Artikel [9] interessant.)

 

Modelltheoretische Überlegungen

Bei der Suche nach einem RK-Äther gibt es zunächst unendlich viele Freiheitsgrade, da dem Vakuum im Prinzip beliebige Eigenschaften zugeordnet werden können. Um zu einem guten Modell zu kommen, ist es deshalb wichtig, dasjenige Modell zu wählen, welches mit den wenigsten Parametern auskommt (Ockhams Rasiermesser). Es ist sehr wahrscheinlich, dass irgendein RK-Äthermodell das Standardmodell reproduzieren kann. Wenn das RK-Äthermodell aber dazu mehr Parameter braucht als das Standardmodell, ist aus modelltheoretischer Sicht dennoch das bisherige Modell vorzuziehen.

Umgekehrt bedeutet dies aber auch, dass wenn ein RK-Äthermodell gefunden wird, welches mit weniger Parametern auskommt als das Standardmodell – aber dieses reproduziert – das RK-Äthermodell vorzuziehen ist.

Mit diesen Überlegungen wird nun ein sinnvoller Startpunkt für die Suche nach dem geeigneten RK-Äthermodell erarbeitet. Es zeigt sich nämlich, dass mit ein paar einfachen Überlegungen und Naturbeobachtungen die Zahl der Parameter deutlich reduziert werden kann.

Relativistische Kovarianz

Ein RK-Äthermodell bedeutet, dass ein Stoffmodell gefunden werden muss, welches die Gleichungen des bisherigen Standardmodells der Physik reproduziert. Dabei soll nach Möglichkeit auf bereits vorhandene Konzepte zurückgegriffen werden. Hier stellt sich nun das erste Problem:

Die Physik von traditionellen Stoffen (Gase, Flüssigkeiten, Festkörper) wird in der Kontinuumsmechanik behandelt. Die ganze Kontinuumsmechanik ist aber begrenzt auf euklidische – oder zumindest positiv definite – Räume. Für eine Theorie der Raumzeit ist es jedoch zwingend notwendig, dass diese relativistisch kovariant, und damit auf einem (nicht positiv definiten) Minkowski-Raum definiert ist.

Aufgrund der Wichtigkeit dieses Themas wurde diesem Punkt ein eigener Artikel gewidmet, der aufzeigt, wie dieser scheinbare Widerspruch aufgelöst werden kann. In Kapitel 1 wird aufgezeigt, dass die Minkowski-Metrik entsteht, sobald eine euklidische Raumzeit durch einen zeitlich flachen Beobachter gemessen (beobachtet) wird.

Kurz zusammengefasst, wird dort die These präsentiert, dass die Physik der Raumzeit sehr wohl in einem vierdimensionalen euklidischen Raum stattfinden kann, jedoch die Messung durch den Menschen – der nur einen einzelnen Zeitpunkt überblickt – zu einer Messvorschrift führt, welche den euklidischen Raum in den Minkowski-Raum abbildet.

Der zugrunde liegende Raum und die Messvorschrift sind also klar voneinander zu trennen. Durch das Konzept des zeitlich flachen Beobachters (des Menschen), der Messungen im euklidischen Raum vornimmt und dadurch einen Minkowski-Raum sieht, wird es möglich, auf den zugrunde liegenden euklidischen Raum widerspruchsfrei die Konzepte der Kontinuumsmechanik anzuwenden, und damit auf den leistungsfähigen bestehenden Konzepten bei der Beschreibung eines RK-Äthers aufzubauen.    

Dimension

Als nächstes soll die Dimension des RK-Äthers diskutiert werden. Aufgrund der Überlegung bezüglich der Anzahl Parameter ist zunächst das Modell zu favorisieren, welches mit der geringsten Anzahl Dimensionen zurechtkommt. Ein- und zweidimensionale Modelle scheiden aus, da sie als Modell unserer realen dreidimensionalen Wahrnehmung des Raumes kaum entsprechen können.

Dreidimensionale Medien (mit der Zeit als Zusatzdimension ausserhalb der Metrik) scheiden aus, denn Modelle mit einem dreidimensionalen Äther entsprechen den traditionellen Äthermodellen, die schon vor 100 Jahren experimentell widerlegt wurden, da sie die relativistische Kovarianz nicht erfüllen.

Vierdimensionale Modelle scheinen die niedrigste valable Dimension zu sein. Dies passt auch gut zum heutigen Verständnis der Raumzeit und wird deshalb zur Modellbildung in Betracht gezogen. Wenn ein RK-Äthermodell für vier Dimensionen ausgeschlossen werden kann, wären fünfdimensionale, dann sechsdimensionale, etc. Modelle zu prüfen.

Materialgesetz

Die Frage stellt sich, wie das «Etwas» im Gegensatz zum Vakuum definiert wird. Grundsätzlich könnte es ja Charakteristika eines jeden bekannten oder unbekannten Stoffes/ Mediums haben. Natürlich wäre es wünschenswert, ein Modell zu erstellen, welches eine Entsprechung in unserem Erfahrungsschatz hat.

Es lassen sich diesbezüglich aufgrund von Naturbeobachtungen zwei Feststellungen machen:

Transversalwellen
Elektromagnetische Wellen – also Licht – sind Transversalwellen. Das Modell muss also in der Lage sein, Transversalwellen zu beschreiben. Dazu ist es nötig, dass transversale Spannungen (Scherspannungen) erlaubt sind.

Per Definition sind derartige Terme bei den bekannten Grundmodellen weder im Gas noch im Fluid möglich, sondern nur im elastischen Medium. Es ist deshalb sinnvoll, das Materialgesetz mit einem elastischen Term auszustatten. Auch hier gilt: dieses Materialgesetz ist ein Startpunkt, wenn es nicht ausreichen sollte, werden weitere Terme hinzugefügt.

Expandierendes Universum
Als zweite Beobachtung führt die beschleunigte Expansion des Universums dazu, dass das Medium sich nicht in einem Gleichgewichtszustand befindet, sondern unter irgendeiner Art von universeller Spannung steht. Auch dieser Aspekt soll in das Materialgesetz mittels eines Grundspannungs-Terms einfliessen.

 

Zusammenfassung der modelltheoretischen Überlegungen: Der Startpunkt zur Entwicklung eines RK-Äthermodells bildet das Modell mit den wenigsten Parametern, also ein vierdimensionales elastisches Medium unter Spannung. Erst wenn dieses nicht ausreicht, sollen weitere Parameter in Betracht gezogen werden. Die relativistische Kovarianz wird gewährleistet durch die Messung als zeitlich flachen Beobachter.

 

Materialgesetz und Energieerhaltung

Die Elastizitätstheorie besteht aus zwei Hauptkomponenten. Einerseits ein Materialgesetz, welches die materialspezifischen Eigenschaften festlegt, indem es beschreibt, wie ein Volumenelement des Materials auf äussere Kräfte reagiert. Damit beschreibt es den Charakter des Materials.

Andererseits gilt übergeordnet die allgemeine Mechanik, welche dazu benutzt werden kann, eine lokale Energieerhaltung in Form eines Lagrangians und damit eine Bewegungsgleichung zu definieren. Dabei fliessen die materialspezifischen Eigenschaften aus dem Materialgesetz in diese Energieerhaltung ein.

Im Fall der Elastizitätstheorie kann ausserdem der kontinuierliche Stoff als Limit einer Gitterstruktur aus Federn und Massenpunkten verstanden werden, also als elastisches Gitter, wobei gefordert wird, dass der Übergang nicht zu einem grundlegend anderen Verhalten führt.

Die folgende Grafik fasst die einzelnen Elemente der Theorie zusammen:

Diagramm zur Einordnung und Struktur der Elastizitätstheorie inkl. Übergang vom Kontinuumslimit zum elastischen Gitter. 

These

Die bisherigen Überlegungen führen zu folgenden Thesen:

These 1:
Die Gleichungen der elektroschwachen Theorie mit Symmetriebrechung für Leptonen können interpretiert werden als Energieerhaltung (Lagrangian) eines Punktdefektes in einem vierdimensionalen elastischen Gitter, beobachtet durch einen zeitlich flachen Beobachter.

These 2:
Die Einstein’schen Feldgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie entsprechen dem Materialgesetz eines elastischen vierdimensionalen Mediums im Kontinuumslimit, beobachtet durch einen zeitlich flachen Beobachter.

Bemerkungen:

• Die Behandlung des zeitlich flachen Beobachters wurde entwickelt in Kapitel 1.
• Eine Hauptschwierigkeit des Vergleichs der Gleichungen in der Elastizitätstheorie und der Teilchenphysik liegt darin, dass diese traditionell mittels unterschiedlicher mathematischer Methoden entwickelt wurden. Deshalb wurde der Herleitung eines Gleichungssystems für die Energieerhaltung eines sich bewegenden Punktdefektes in der Methodik der Teilchenphysik ein eigener Artikel (Kapitel 2) gewidmet.

Folgerung 1:
Falls diese Thesen zutreffen, muss es einen wohldefinierten Zusammenhang geben zwischen den beiden Gleichungssystemen:
Das Materialgesetz und der Lagrangian sind beide Funktionen der elastischen Eigenschaften des zugrundeliegenden Mediums.

Als erste Folgerung aus den bisherigen Überlegungen wird in diesem Artikel ein Mechanismus vorgestellt, der es erlaubt, die elastischen Konstanten ineinander umzurechnen.

  

Mathematisch

Relativistische Kovarianz, Dimension und Metrik

Für das vierdimensionale Medium ist der metrische Tensor eine 4x4-Matrix, die im spannungsfreien Fall orthonormiert ist. Durch die Überlegungen in Kapitel 1 bezüglich Beobachtung durch den zeitlich flachen Beobachter, ist das Vorzeichen eines Metrik-Elements invers zu den restlichen Elementen. Dabei ist vorläufig unbestimmt, welche Elemente negativ, und welche positiv sind. Es gibt zwei mögliche Metriken, die wie folgt dargestellt werden können:

<equation id="eqn:Aether.01" shownumber> [math]\displaystyle{ g_{\mu\nu}=[S1]\cdot\left(\begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) }[/math] </equation>

Wobei das Vorzeichen [math]\displaystyle{ [S1]=\pm{}1 }[/math] per Konvention wählbar ist. (Nomenklatur gemäss , verfügbar in[10])

 

Materialgesetz

Das Materialgesetz eines vierdimensionalen isotropen elastischen Mediums in der Approximation für kleine Defekte lautet:

<equation id="eqn:Aether.02" shownumber> [math]\displaystyle{ \left[ S3 \right] \cdot \mathbf{ε} = {2\mu}^\prime \cdot \mathbf{σ} + {\lambda}^\prime \cdot \mathrm{tr}(\mathbf{σ})\mathbf{g} }[/math] </equation>

Wobei das Vorzeichen [math]\displaystyle{ [S3] }[/math] per Konvention gewählt werden kann.

[math]\displaystyle{ \mathbf{ε} }[/math] bezeichnet den Deformationstensor, [math]\displaystyle{ \mathbf{σ} }[/math] den Spannungstensor, [math]\displaystyle{ {2\mu}^\prime }[/math] sowie [math]\displaystyle{ \lambda^\prime }[/math] heissen erster und zweiter Voigt-Koeffizient. Das Materialgesetz sagt aus, dass Deformationen proportional zu Spannungen im Material sind. [math]\displaystyle{ \mathbf{g} }[/math] bezeichnet wiederum die Metrik.

Das Materialgesetz kann durch Umstellung auch mit einem angepassten Spannungstensor geschrieben werden:

<equation id="eqn:Aether.03" shownumber> [math]\displaystyle{ [S3]\cdot \mathbf{ε}={2\mu{}}^\prime\cdot\mathbf{σ}^\prime }[/math] </equation>

Wobei

<equation id="eqn:Aether.04" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \mathbf{σ}^\prime = \mathbf{σ}+\frac{{\lambda}^\prime}{{2\mu}^\prime}\cdot \mathrm{tr}(\mathbf{σ})\mathbf{g} }[/math] </equation>

Divergenz/ Ricci-Tensor
Wenn keine äusseren Kräfte anliegen, wird die Divergenz des Spannungstensors null per Definition:

<equation id="eqn:Aether.05" shownumber> [math]\displaystyle{ \mathbf{\nabla σ} := -\mathbf{F} =0 }[/math] </equation>

Damit muss auch die Divergenz des Deformationstensors null sein. Der Deformationstensor hat also folgende Eigenschaften:

1. Tensor zweiter Stufe in vier Dimensionen.
2. Mass für die Krümmung des Raumes/ der Metrik des Raumes.
3. Divergenzfrei im Fall ohne Kräfte.

Damit ist der spurinvertierte Ricci-Tensor (Einstein-Tensor) der passende Tensor, der alle diese Eigenschaften erfüllt:

<equation id="eqn:Aether.06" shownumber> [math]\displaystyle{ \varepsilon_{ij}=G_{ij}=R_{ij}-2Rg_{ij} \qquad \qquad \qquad \mathbf{ε}=\mathbf{G}=\mathbf{R} - 2R\mathbf{g} }[/math] </equation>

Wobei in der Definition des Ricci-Tensors ein weiteres Vorzeichen (hier nicht sichtbar, bezeichnet mit [math]\displaystyle{ [S2] }[/math]) per Definition nicht determiniert ist, sondern per Konvention festgelegt werden muss.

Die Definition der Komponenten des Ricci-Tensors ist im Anhang aufgeführt.

Vergleich mit Einstein’schen Feldgleichungen
Das Materialgesetz in der Form:

<equation id="eqn:Aether.07" shownumber> [math]\displaystyle{ [S3]\cdot{\varepsilon}_{\mu\nu}={2\mu}^\prime\cdot{\sigma^\prime}_{\mu\nu} }[/math] </equation>

Lässt sich damit direkt vergleichen mit den Einstein’schen Feldgleichungen:

<equation id="eqn:Aether.08" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle [S3]\cdot G_{\mu\nu}= \frac{8\pi G}{c^4}\cdot T_{\mu\nu} }[/math] </equation>

Wobei der Einstein-Tensor [math]\displaystyle{ G_{\mu\nu} }[/math] mit dem Deformationstensor, und der Energie-Impuls-Tensor [math]\displaystyle{ T_{\mu\nu} }[/math] mit dem Spannungstensor des Materialgesetzes identifiziert wird. Literatur: .

Es folgt, dass der erste Voigt-Parameter der Gravitationskonstante G wie folgt entspricht:

<equation id="eqn:Aether.09" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle {2\mu}^\prime c^2= \frac{8\pi G}{c^2} }[/math] </equation>

<equation id="eqn:Aether.10" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \left[\mu^\prime \right] = \frac{1}{N} }[/math] </equation>

 

Lagrangian eines Defekts

In Kapitel 2 wurde die Lagrangedichte für einen Defekt im vierdimensionalen Gitter hergeleitet. Dabei wurde Wert daraufgelegt – anders als in traditionellen Textbüchern über Defektdynamik im elastischen Gitter – die mathematische Beschreibung mittels lokaler Eichtheorien zu bewerkstelligen, damit eine mit der Quantenmechanik vergleichbare Beschreibung entsteht. Dies zahlt sich nun aus. Die Lagrangedichte für einen intrinsischen Defekt (bestehend aus Fehlstelle und Lücke), der sich im isotropen Medium bewegt, lautet:

<equation id="eqn:Aether.11" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle L_{\mathbf{m}} = \mathbf{\overline{W}_\alpha} \left( -\xi + 2 \overset{\approx}{M} \cdot i \cdot \gamma^j \cdot \partial_j - 4 \overset{\approx}{K} \cdot \gamma^j v_j \right) \mathbf{W_\alpha} - \overset{\approx}{K} \cdot V_{ij} V^{ij} - \overset{\approx}{\Phi}_0 }[/math] </equation>

Dabei wurden (massive) [math]\displaystyle{ SU(2) }[/math]-Interaktions-Terme der Einfachheit halber vernachlässigt. Für den ersten Vergleich reicht dieses Gleichungssystem aus.

Darin bedeuten in Kürze:

• [math]\displaystyle{ \mathbf{W_\alpha} }[/math]: kombiniertes Auslenkungsfeld eines intrinsischen Defektpaares [math]\displaystyle{ \mathbf{\alpha} }[/math] (Fehlstelle und Lücke). Das adjungierte Feld [math]\displaystyle{ \mathbf{\overline{W}_\alpha} }[/math] wird in dieser Schreibweise als unabhängiges Feld betrachtet.
• [math]\displaystyle{ \xi }[/math]: Relative Defektstärke im elastischen Gitter.
• [math]\displaystyle{ 2 \overset{\approx}{M} \cdot i \cdot \gamma^j \cdot \partial_j }[/math]: Bewegungsterm des kombinierten Defekts, modelliert Diffusion.
• [math]\displaystyle{ \overset{\approx}{M} }[/math]: Longitudinalmodul des elastischen Gitters. Durch die gerichtete Bewegung ist die Interaktionsstärke des Defekts mit dem Gitter bei Bewegung durch das Longitudinalmodul gegeben.
• [math]\displaystyle{ V_{ij}=\partial_i v_j - \partial_j v_i }[/math]: Nicht massive (schiefsymmetrische, [math]\displaystyle{ U(1) }[/math]) Anteile des Auslenkungsfelds des ungestörten Gitters, Interaktion mit dem Defekt als Störungsterm. Massive Anteile werden hier der Einfachheit halber weggelassen.
• [math]\displaystyle{ \overset{\approx}{K} }[/math]: Interaktionsstärke des Defekts mit Schwingungsmoden des ungestörten Gitters. Durch den isotropen Defekt ist die Interaktion isotrop, und die Interaktionsstärke durch das Kompressionsmodul des elastischen Gitters gegeben.

Dieser Lagrangian lässt sich im Kontinuumslimit mit der Lagrangedichte der Quantenelektrodynamik vergleichen, und die Komponenten lassen sich praktisch eins zu eins als Eigenschaften eines Punktdefektes im vierdimensionalen, vom zeitlich flachen Beobachter gemessenen elastischen Gitters interpretieren:

<equation id="eqn:Aether.12" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \mathcal{L} = \overline{\mathbf{ψ}}_i \left( -mc^2 + i \cdot \hslash c \cdot \gamma^\mu \cdot \partial_\mu - \frac{e^2}{\varepsilon_0} \cdot \gamma^\mu A_\mu \right) \mathbf{ψ}_i - \frac{e^2}{4 \varepsilon_0} \cdot F_{ij} F^{ij} }[/math] </equation>

In dieser Schreibweise wurden die elektromagnetischen Konstanten aus dem Viererpotential explizit in den Vorfaktor geschrieben.

Durch den Vergleich der beiden Systeme lassen sich zwei Elastizitätskonstanten des elastischen Gitters direkt bestimmen, das Kompressionsmodul [math]\displaystyle{ \overset{\approx}{K} }[/math] und das Longitudinalmodul [math]\displaystyle{ \overset{\approx}{M} }[/math]:

<equation id="eqn:Aether.13" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \overset{\approx}{K}=\frac{e^2}{{4\varepsilon{}}_0} }[/math] </equation>

<equation id="eqn:Aether.14" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \overset{\approx}{M}=\frac{\hslash{}c}{2} }[/math] </equation>

<equation id="eqn:Aether.15" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \left[\overset{\approx}{K}\right]=\left[\overset{\approx}{M}\right]=Pa \cdot m^4=Jm }[/math] </equation>

<equation id="eqn:Aether.15" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \left[\mathbf{{W}_\alpha} \right]=1 \qquad \qquad \left[\mathbf{∂{W}_\alpha} \right]=m^{-1} }[/math] </equation>

<equation id="eqn:Aether.16" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \left[\mathbf{v} \right]=m^{-1} \qquad \qquad \left[\mathbf{∂v} \right]=m^{-2} }[/math] </equation>

Wenn man Effekte der Symmetriebrechung des Raumes durch das elastische Gitter weiterhin vernachlässigt, also von einem isotropen Gitter ausgeht, lassen sich diese beiden Grössen bis auf einen konstanten Faktor direkt in die beiden Voigt-Koeffizienten [math]\displaystyle{ \mu^\prime }[/math] sowie [math]\displaystyle{ \lambda^\prime }[/math] aus dem Materialgesetz umrechnen. Der konstante Faktor entspricht dann der Normierungsbedingung für das elastische Gitter.

 

Zusammenhang Materialgesetz und Lagrangian

Longitudinal- und Kompressionsmodul
Aus den Voigt-Koeffizienten [math]\displaystyle{ \mu^\prime }[/math] und [math]\displaystyle{ \lambda^\prime }[/math] lassen sich die weiteren elastischen Koeffizienten bestimmen. Von Interesse sind hier das Longitudinalmodul [math]\displaystyle{ M }[/math] zur Beschreibung von gerichteten Deformationen, und das Kompressionsmodul [math]\displaystyle{ K }[/math] zur Beschreibung von isotropen Deformationen, welche für die mikroskopische Beschreibung als elastisches Gitter verwendet werden.

Die beiden Module können durch Umstellung des Materialgesetzes ermittelt werden. Allerdings stellt sich für die Verwendung in der mikroskopischen Theorie des elastischen Gitters ein grundsätzliches Problem:

 

Materialgesetz mit vorzeicheninvertierter Metrik

Das ermittelte Materialgesetz geht von einer direkten Deformation der Metrik aus. Das Modell des linearen Gitters beschreibt jedoch die Stauchung von Federn bezogen auf einen fixen Raum mit fixer Metrik. Es muss also zuerst das Materialgesetz so angepasst werden, dass nicht eine kovariante Deformation der Metrik, sondern eine kontravariante Deformation des Raumgitters beschreibt.

Dies ist nach den Erkenntnissen aus Kapitel 1 möglich, indem das Vorzeichen der Metrik invertiert wird. Wir erinnern uns zuerst an das ursprüngliche Materialgesetz:

<equation id="eqn:Aether.17" shownumber> [math]\displaystyle{ \left[ S3 \right] \cdot \mathbf{ε} = {2\mu}^\prime \cdot \mathbf{σ} + {\lambda}^\prime \cdot \mathrm{tr}(\mathbf{σ})\mathbf{g} }[/math] </equation>

Die rechte Seite kann separiert werden in spurfreie und homogene Anteile:

<equation id="eqn:Aether.18" shownumber> [math]\displaystyle{ [S3]\cdot\mathbf{ε}=2\mu^\prime \cdot \mathbf{σ_\perp} + \left( 2\mu^\prime + 4\lambda^\prime \right) \cdot \mathbf{σ_\parallel} }[/math] </equation>

<equation id="eqn:Aether.19" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \mathbf{σ_\parallel} = \frac{1}{4}\cdot \mathrm{tr}\left(\mathbf{σ} \right) \cdot \mathbf{g} \qquad \qquad \mathrm{tr}\left(\mathbf{σ_\perp} \right) = 0 \qquad \qquad \mathbf{σ}=\mathbf{σ_\parallel} + \mathbf{σ_\perp} }[/math] </equation>

Womit durch Kontraktion die Spur der Gleichung ermittelt werden kann:

<equation id="eqn:Aether.20" shownumber> [math]\displaystyle{ [S3]\cdot \mathrm{tr}\left(\mathbf{ε}\right)= [S3]\cdot g^{ab}ε_{ab} = \left( 2\mu^\prime + 4\lambda^\prime \right) \cdot g^{ab}σ_{ab} = \left( 2\mu^\prime + 4\lambda^\prime \right) \cdot \mathrm{tr}\left(\mathbf{σ}\right) }[/math] </equation>

 

Das Materialgesetz mit vorzeicheninvertierter Metrik lautet:

<equation id="eqn:Aether.21" shownumber> [math]\displaystyle{ \left[ S3 \right] \cdot \mathbf{\overset{\smallsmile}{ε}} = {2\mu}^\prime \cdot \mathbf{\overset{\smallsmile}{σ}} + {\lambda}^\prime \cdot \mathrm{tr} \left(\mathbf{\overset{\smallsmile}{σ}} \right) \mathbf{\overset{\smallsmile}{g}} }[/math] </equation>

Die einzelnen Komponenten transformieren dabei wie folgt:

<equation id="eqn:Aether.22" shownumber> [math]\displaystyle{ \mathbf{\overset{\smallsmile}{g}} = - \mathbf{g} \qquad \qquad \mathbf{\overset{\smallsmile}{ε}} = \mathbf{ε} \qquad \qquad \mathbf{\overset{\smallsmile}{σ}} = \mathbf{σ} }[/math] </equation>

<equation id="eqn:Aether.23" shownumber> [math]\displaystyle{ \mathrm{tr}\left(\mathbf{\overset{\smallsmile}{ε}}\right) = \overset{\smallsmile}{g}^{ab}\overset{\smallsmile}{ε}_{ab} = - \mathrm{tr}\left(\mathbf{ε}\right) \qquad \qquad \mathrm{tr}\left(\mathbf{\overset{\smallsmile}{σ}}\right) = \overset{\smallsmile}{g}^{ab}\overset{\smallsmile}{σ}_{ab} = - \mathrm{tr}\left(\mathbf{σ}\right) }[/math] </equation>

Das Transformationsverhalten der Komponenten wird im Anhang weiter untersucht.

Wiederum kann das Materialgesetz mit invertierter Metrik separiert und kontrahiert werden:

<equation id="eqn:Aether.24" shownumber> [math]\displaystyle{ [S3]\cdot\mathbf{\overset{\smallsmile}{ε}}=2\mu^\prime \cdot \mathbf{\overset{\smallsmile}{σ}_\perp} + \left( 2\mu^\prime + 4\lambda^\prime \right) \cdot \mathbf{\overset{\smallsmile}{σ}_\parallel} }[/math] </equation>

<equation id="eqn:Aether.25" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \mathbf{\overset{\smallsmile}{σ}_\parallel} = \frac{1}{4}\cdot \mathrm{tr}\left(\mathbf{\overset{\smallsmile}{σ}} \right) \cdot \mathbf{\overset{\smallsmile}{g}} \qquad \qquad \mathrm{tr}\left(\mathbf{\overset{\smallsmile}{σ}_\perp} \right) = 0 \qquad \qquad \mathbf{\overset{\smallsmile}{σ}}=\mathbf{\overset{\smallsmile}{σ}_\parallel} + \mathbf{\overset{\smallsmile}{σ}_\perp} }[/math] </equation>

<equation id="eqn:Aether.26" shownumber> [math]\displaystyle{ [S3]\cdot \mathrm{tr}\left(\mathbf{\overset{\smallsmile}{ε}}\right)= [S3]\cdot \overset{\smallsmile}{g}^{ab}\overset{\smallsmile}{ε}_{ab} = \left( 2\mu^\prime + 4\lambda^\prime \right) \cdot \overset{\smallsmile}{g}^{ab}\overset{\smallsmile}{σ}_{ab} = \left( 2\mu^\prime + 4\lambda^\prime \right) \cdot \mathrm{tr}\left(\mathbf{\overset{\smallsmile}{σ}}\right) }[/math] </equation>

Was nun für den Vergleich mit dem linearen Gitter interessiert, ist der originale Deformationszustand [math]\displaystyle{ \mathbf{ε} }[/math], dargestellt im umgestellten Materialgesetz mit Metrik [math]\displaystyle{ \mathbf{\overset{\smallsmile}{g}} }[/math]. Also wird der ursprüngliche Deformationszustand gemäss seinem Transformationsverhalten unter Vorzeicheninversion der Metrik in das umgestellte Materialgesetz eingefügt:

<equation id="eqn:Aether.27" shownumber> [math]\displaystyle{ \left[ S3 \right] \cdot \mathbf{ε} = {2\mu}^\prime \cdot \mathbf{\overset{\smallsmile}{σ}} + {\lambda}^\prime \cdot \mathrm{tr} \left(\mathbf{\overset{\smallsmile}{σ}} \right) \mathbf{\overset{\smallsmile}{g}} }[/math] </equation>

Und in kontrahierter Form:

<equation id="eqn:Aether.28" shownumber> [math]\displaystyle{ [S3]\cdot \mathrm{tr}\left(\mathbf{ε}\right)= - \left( 2\mu^\prime + 4\lambda^\prime \right) \cdot \mathrm{tr}\left(\mathbf{\overset{\smallsmile}{σ}}\right) }[/math] </equation>

Man beachte das Minuszeichen.

 

Umstellung des Materialgesetzes

Die weitere Umstellung folgt dem Standard-Vorgehen der Kontinuumsmechanik, wobei sich durch das umgestellte Vorzeichen geänderte Resultate ergeben.

Das kontrahierte Materialgesetz kann noch etwas umgestellt werden:

<equation id="eqn:Aether.29" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle [S3]\cdot \frac{-1}{\left( 2\mu^\prime + 4\lambda^\prime \right)} \cdot \mathrm{tr}\left(\mathbf{ε}\right)= \mathrm{tr}\left(\mathbf{\overset{\smallsmile}{σ}}\right) }[/math] </equation>

Dies wird in das Materialgesetz eingefügt:

<equation id="eqn:Aether.30" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \left[ S3 \right] \cdot \mathbf{ε} = {2\mu}^\prime \cdot \mathbf{\overset{\smallsmile}{σ}} - [S3]\cdot \frac{{\lambda}^\prime}{\left( 2\mu^\prime + 4\lambda^\prime \right)} \cdot \mathrm{tr}\left(\mathbf{ε}\right) \cdot \mathbf{\overset{\smallsmile}{g}} }[/math] </equation>

Und der Spur-Term auf die andere Seite der Gleichung gebracht:

<equation id="eqn:Aether.31" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \left[ S3 \right] \cdot \left( \mathbf{ε} +\frac{{\lambda}^\prime}{\left( 2\mu^\prime + 4\lambda^\prime \right)} \cdot \mathrm{tr}\left(\mathbf{ε}\right) \cdot \mathbf{\overset{\smallsmile}{g}} \right) = {2\mu}^\prime \cdot \mathbf{\overset{\smallsmile}{σ}} }[/math] </equation>

Wir wählen ab hier [S3] positiv und stellen noch fertig um:

<equation id="eqn:Aether.32" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{1}{{2\mu}^\prime} \cdot \mathbf{ε} + \frac{{\lambda}^\prime}{{2\mu}^\prime \left( 2\mu^\prime + 4\lambda^\prime \right)} \cdot \mathrm{tr}\left(\mathbf{ε}\right) \cdot \mathbf{\overset{\smallsmile}{g}} = \mathbf{\overset{\smallsmile}{σ}} }[/math] </equation>

In dieser Form erlaubt das Materialgesetz nun die Ermittlung des Longitudinal- und des Kompressionsmoduls.

 

Lamé-Parameter
Die Beziehung zwischen Voigt- [math]\displaystyle{ \left(\mu^\prime,\lambda^\prime \right) }[/math] und Lamé-Parametern [math]\displaystyle{ (\mu,\lambda) }[/math] lässt sich direkt ablesen. Die Lamé-Parameter sind definiert als:

<equation id="eqn:Aether.33" shownumber> [math]\displaystyle{ 2\mu \cdot \mathbf{ε} + \lambda \cdot \mathrm{tr}\left(\mathbf{ε}\right) \cdot \mathbf{\overset{\smallsmile}{g}} = \mathbf{\overset{\smallsmile}{σ}} }[/math] </equation>

<equation id="eqn:Aether.34" shownumber> [math]\displaystyle{ \Rightarrow 2\mu = \frac{1}{{2\mu}^\prime} \qquad \qquad \Rightarrow \lambda = \frac{{\lambda}^\prime}{{2\mu}^\prime \left( 2\mu^\prime + 4\lambda^\prime \right)} }[/math] </equation>

 

Longitudinal-Modul
Das Longitudinal-Modul [math]\displaystyle{ M }[/math] ist definiert aus der Spannungs-Antwort eines Materials auf eine einachsige Deformation. oBdA wird die Eingangsdeformation gewählt:

<equation id="eqn:Aether.35" shownumber> [math]\displaystyle{ \mathbf{ε}:= \left(\begin{array}{cccc} ε_{00} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) }[/math] </equation>

Und in das Materialgesetz eingesetzt:

<equation id="eqn:Aether.36" shownumber> [math]\displaystyle{ \Rightarrow σ_{00} = 2\mu \cdot ε_{00} + \lambda \cdot ε_{00} \qquad \qquad \Rightarrow σ_{11} = σ_{22} = σ_{33} = \lambda \cdot ε_{00} }[/math] </equation>

<equation id="eqn:Aether.37" shownumber> [math]\displaystyle{ M := \frac{σ_{00}}{ε_{00}} = 2\mu + \lambda = \frac{{2\mu}^\prime+{5\lambda}^\prime}{{2\mu}^\prime \left( 2\mu^\prime + 4\lambda^\prime \right)} \qquad \qquad \nu^\prime := \frac{-σ_{11}}{σ_{00}} = \frac{-\lambda}{2\mu + \lambda} = \frac{-\lambda^\prime}{2\mu^\prime + 5\lambda^\prime} }[/math] </equation>

Der Akzent wurde bei den Komponenten des Spannungstensors weggelassen.

 

Kompressions-Modul
Das Kompressions-Modul [math]\displaystyle{ K }[/math] beschreibt das Verhalten eines Materials unter formerhaltenden Volumenänderungen:

<equation id="eqn:Aether.38" shownumber> [math]\displaystyle{ \mathbf{ε}:= \left(\begin{array}{cccc} dε & 0 & 0 & 0 \\ 0 &-dε& 0 & 0 \\ 0 & 0 &-dε& 0 \\ 0 & 0 & 0 &-dε \end{array}\right) }[/math] </equation>

<equation id="eqn:Aether.39" shownumber> [math]\displaystyle{ \Rightarrow dσ = σ_{00} = σ_{11} = σ_{22} = σ_{33} = 2\mu \cdot dε + 4\lambda \cdot dε = \left(2\mu + 4\lambda\right) \cdot dε =: 4K \cdot dε }[/math] </equation>

<equation id="eqn:Aether.39.1" shownumber> [math]\displaystyle{ \Rightarrow K = \frac{1}{2}\mu + \lambda = \frac{1}{4} \frac{{2\mu}^\prime+{8\lambda}^\prime}{{2\mu}^\prime \left( 2\mu^\prime + 4\lambda^\prime \right)} }[/math] </equation>

 

Mikroskopisches Longitudinal- und Kompressionsmodul und Zusammenhang

Die aus dem Materialgesetz und den Voigt-Koeffizienten ermittelten Longitudinal- und Kompressionsmodule [math]\displaystyle{ M }[/math] und [math]\displaystyle{ K }[/math] müssen nun bis auf einen konstanten Normierungsfaktor mit den mikroskopischen Modulen [math]\displaystyle{ \overset{\approx}{M} }[/math] und [math]\displaystyle{ \overset{\approx}{K} }[/math] des elastischen Gitters übereinstimmen. Der Normierungsfaktor folgt daraus, dass der Lagrangian des elastischen Gitters nur bis auf einen konstanten Vorfaktor bestimmt werden kann.

Als Normierungsfaktor wird hier verwendet:

<equation id="eqn:Aether.40" shownumber> [math]\displaystyle{ k = {4\mu}^\prime c^2 \left( {2\mu}^\prime + {4\lambda}^\prime \right)\cdot e^* }[/math] </equation>

[math]\displaystyle{ [k] = m^2 }[/math] und damit [math]\displaystyle{ e^* = N^2 s^2 }[/math]

Wobei dieser Faktor im Anhang motiviert wird.

Damit gilt unter Berücksichtigung des Normierungsfaktors beim Übergang zum elastischen Gitter:

<equation id="eqn:Aether.42" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \overset{\approx}{K} = k \cdot K = \frac{c^2}{2}\left( 2\mu^\prime + 8\lambda^\prime \right) \cdot e^* }[/math] </equation>

<equation id="eqn:Aether.43" shownumber> [math]\displaystyle{ \overset{\approx}{M} = k \cdot M = 2c^2 \left( 2\mu^\prime + 5\lambda^\prime \right) \cdot e^* }[/math] </equation>

Und damit:

<equation id="eqn:Aether.44" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle 2\mu^\prime c^2 = \left( \frac{8}{6}\overset{\approx}{M} - \frac{5}{6} 4\overset{\approx}{K} \right) \cdot e^{*-1} }[/math] </equation>

Andererseits gilt:

<equation id="eqn:Aether.45" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle 4\overset{\approx}{K}=\frac{e^2}{{\varepsilon{}}_0} }[/math] </equation>

<equation id="eqn:Aether.46" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \overset{\approx}{M}=\frac{\hslash{}c}{2} }[/math] </equation>

<equation id="eqn:Aether.47" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle {2\mu}^\prime c^2= \frac{8\pi G}{c^2} }[/math] </equation>

Und somit schlussendlich: <equation id="eqn:Aether.48" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle G = \frac{c^2}{8\pi} \left( \frac{2}{3}\hslash{}c - \frac{5}{6} \frac{e^2}{{\varepsilon{}}_0} \right) \cdot e^{*-1} = 6.673\, 192\, 3(3) \cdot {10}^{-11} \frac{m^3}{kg \cdot s^2} }[/math] </equation> als berechnete Gravitationskonstante, welche mehr als zwei Grössenordnungen genauer bestimmt ist als der experimentell gemessene Wert: <equation id="eqn:Aether.49" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle G_{Exp.} = 6.674\, 08(93) \cdot {10}^{-11} \frac{m^3}{kg \cdot s^2} }[/math] </equation> Angegeben ist das 3σ-Fehlerintervall. Die Fehlerrechnung befindet sich im Anhang.

[math]\displaystyle{ {\overset{\sim}{x}} }[/math]  

Offene Fragen

Es bleiben viele Fragen offen. Einige werden hier kurz angetönt:

Übergang Mikro <-> Makro

• Die Argumente beim Übergang sehen einigermassen plausibel aus, sind aber noch sehr schwammig. Effekte durch den Kontinuumsübergang und beim Übergang vom isotropen Medium zur Anisotropie müssen genauer untersucht werden.

Näherungen

• Korrekturen durch Terme höherer Ordnung?
• Effekte bei Übergang zur vollen ART?
• Allgemein müssen die Gleichungen genauer definiert werden: Behandlung von Polstellen, Definitions- und Wertebereichen.

Physikalische Konstanten & Einheiten

• Durch die Verknüpfung der verschiedenen Konstanten und deren Interpretation müssen die physikalischen Einheiten überdacht und neu interpretiert werden.
• Einfluss des negativen Lambdas?

Feldgleichungen

• Gibt es einen Einfluss durch die Anpassung des Spannungstensors beim Vergleich mit den Einstein’schen Feldgleichungen? (Einfluss auf Vakuumlösungen, innere Lösungen, kosmologische Modelle?)

Defekttypen

• Interne Freiheitsgrade
• Einfluss des 0-Potentials

Metrik und Vorzeicheninversion

• Vorgehen systematisieren.
• Was sind weitere Effekte?
• Kann das absolute Vorzeichen der Metrik ermittelt werden?

Gemeinsamkeiten/ Differenzen mit anderen Theorien

• Überschneidungen z.B. mit Quantengravitation, Stringtheorie
• Aber auch Vergleich mit Arbeiten zur 4Dim-Elastizität

 

Verweise

 

Anhänge
Anhang 3A: Übergang Makro [math]\displaystyle{ ↔ }[/math] Mikro
Anhang 3B: Komponenten unter Vorzeicheninversion der Metrik
Anhang 4A: Fehlerrechnung

 

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