Metrik und Zeitmessung

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Metrik, Minkowski-Metrik, Minkowski-Raum

Idee: Dieses Kapitel liefert eine Interpretation der Minkowski-Metrik und daraus folgend aller speziell relativistischen Effekte.

 

These

In der Physik werden Ort und Zeit in der vierdimensionalen Raumzeit zusammengefasst und damit vereinheitlicht. Die Zeit spielt aber nach wie vor eine Sonderrolle:

Der Mensch erlebt, beobachtet und misst Zeit fundamental anders als Raum: Er kann an einen bereits besuchten Ort zurückkehren, jedoch nie an einen bereits besuchten Zeitpunkt zurückgelangen. Ebenso kann der Mensch von einem Ort aus einen anderen Ort betrachten („den Raum überblicken“), er sieht aber immer nur einen Zeitpunkt auf einmal.

Diese grundsätzliche Beobachtung soll in ein mathematisches Modell übersetzt werden. Dazu beginnen wir mit zwei Definitionen:


Definition 1:
Ein universeller Beobachter überblickt alle Dimensionen – auch die Zeit – vollständig.


Definition 2:
Ein flacher Beobachter bzw. ein "einschichtiger" Beobachter überblickt eine oder mehrere Dimensionen nicht vollständig, sondern nur jeweils einen Punkt der Dimension auf einmal.

Zum Beispiel würde ein flacher Beobachter in einem euklidischen Raum mit Koordinaten x, y und z, der bezüglich der z-Achse "flach" sieht, nur die x- und die y-Dimension vollständig überblicken, in der z-Dimension aber nur einen einzelnen Wert, also z.B. z = 4. Er sähe also eine Ebene und nicht den ganzen 3D-Raum.


Folgerung:
Die Konsequenz für den flachen Beobachter ist, dass er in der Dimension, die er nur als 1 Punkt sieht, nicht in der Lage ist, direkt eine Mess-Skala zu definieren. Denn dazu müsste er mindestens 2 Punkte aus dieser Dimension überblicken.

Falls in dieser Dimension keine Bewegung stattfindet, ist das egal, dann wird diese Dimension gar nicht wahrgenommen. Wenn aber Bewegung stattfindet, nimmt der flache Beobachter diese wahr, kann sie aber nicht direkt mit einer Skala versehen.

Seine einzige Möglichkeit ist es dann, indirekt eine Skala zu definieren: Indem er die wahrgenommenen Bewegungen auf bekannte Skalen überträgt, also im xyz Fall von vorhin, indem er wahrgenommene Bewegungen in z-Richtung auf eine Skala abbildet, die in der xy-Ebene liegt.


Beobachtung 1:
Wir sind flache Beobachter bezüglich der Zeit-Dimension gemäss Definition 2:

Egal was wir tun, im Rahmen der Physik ist unsere Messung und Wahrnehmung immer auf einen Zeitpunkt beschränkt. Damit können wir ein Zeitintervall nicht direkt wahrnehmen oder messen. Die Messung der Zeitskala erfolgt immer indirekt, indem eine Bewegung in einer Raumdimension gemessen und auf die Zeitskala abgebildet wird.

Ein universeller Beobachter wäre zwar vorstellbar, existiert im physikalischen Modell aber nicht. 

Als Beispiel/ Illustration 1 betrachten wir die Lichtuhr:

Darstellung Lichtuhr.png

Zwei Spiegel werden in einem bestimmten Abstand zueinander aufgestellt. Ein Lichtstrahl bewegt sich zwischen den Spiegeln hin und her. Immer wenn der Lichtstrahl einen Spiegel erreicht, entspricht dies einem Intervall in der Zeit-Skala.

Gemessen wird also die Zeit-Skala anhand der Distanz v zwischen zwei Objekten. Die Distanz zwischen den Spiegeln entspricht abstrahiert einem Vektor. Dieses Beispiel zeigt ein allgemeines Prinzip auf, das sich wie folgt formulieren lässt:


Beobachtung 2:
Die indirekte Messung der Zeit durch den flachen Beobachter erfolgt immer durch experimentelle Anordnungen in den direkt messbaren Dimensionen.

Bei allen Experimenten handelt es sich um reale Versuchsanordnungen, welche in abstrahierter Form vektoriell beschrieben werden. Vektorielle Grössen transformieren kontravariant unter Koordinatentransformationen in einem euklidischen Raum. Damit hat jedes Experiment kontravariante Transformationseigenschaften (Definition kontravariant siehe z.B. [1], Kurzeinführungen z.B. [2] & [3]).


Folgerung:
Mit der indirekten Messung der Zeitskala via Experiment überträgt sich die kontravariante Transformationseigenschaft des Experiments auf die Zeitskala. Die beobachtete Basis in Zeitrichtung transformiert damit kontravariant.

Da die Basis des euklidischen Raumes kovariant transformiert, steht der flache Beobachter also vor dem Problem, dass er eine Basis der Raumzeit wählt, bei welcher die Basisvektoren in drei direkt gemessenen Dimensionen kovariant transformieren (Raum), in einer indirekt gemessenen Dimension aber kontravariant (Zeit). Die Frage ist nun, auf welche Art und Weise er mit dieser komponentenweise gemischten Basis eine einheitliche mathematische Beschreibung erreichen kann.

An dieser Stelle stellen wir folgende These auf:

These:

Die Behandlung einer Basis, deren einen Elemente kovariant und die restlichen Elemente kontravariant transformieren führt auf Komponenten in der Metrik mit negativem Vorzeichen.

Damit definiert die indirekte Messung einer Richtung durch den flachen Beobachter eine Abbildung aus dem euklidischen in den relativistischen Minkowski-Raum.

 

Beweis

Die neueste Version dieses Absatzes befindet sich in Artikel 1 [REF]

Wir betrachten den vierdimensionalen euklidischen Raum mit per Definition orthonormierter Basis [math]\displaystyle{ \mathbf{e} }[/math]. Aufgrund der Normierung sind Transformationen der Basis längenerhaltend.

Die somit zur Basistransformation möglichen linearen, längenerhaltenden Transformationen im vierdimensionalen euklidischen Raum werden repräsentiert durch die Lie-Gruppe [math]\displaystyle{ SO(4) }[/math], dargestellt durch die speziellen orthogonalen Matrizen der Ordnung vier. Diese sind orthogonal und haben eine Determinante von eins. (Eine kurze Einführung geben z.B. [4] & [5], eine komplette Behandlung z.B. in [6] (online) & [7]).

Die Orthogonalität hat zur Folge, dass das Inverse der Matrix gerade der transponierten Matrix entspricht. Also [math]\displaystyle{ \mathbf{U^{-1} = U^T} }[/math] für alle [math]\displaystyle{ \mathbf{U} }[/math], die Element sind von [math]\displaystyle{ SO(4) }[/math].

Betrachten wir eine einzelne Transformationsmatrix. Diese entspricht einerseits einer aktiven Rotation der Koordinaten [math]\displaystyle{ \mathbf{v} }[/math] zu [math]\displaystyle{ \mathbf{\overset{\sim}{v}} }[/math] eines Vektors bezüglich Basissystem [math]\displaystyle{ \mathbf{e} }[/math]:  

<equation id="eqn:su3.01" shownumber>
[math]\displaystyle{ \mathbf{e^T\overset{\sim}{v}=e^T\left(Uv\right)} }[/math]
</equation>

Sie könnte aber auch als Rotation des Basissystems aufgefasst werden, wenn die Transformationsmatrix nach links wirkend angewendet wird:  

<equation id="eqn:su3.01" shownumber>
[math]\displaystyle{ \mathbf{{\overset{\sim}{e}^T} v=\left(e^T U\right)v={\left(U^T e\right)}^Tv={\left(U^{-1}e\right)}^T v} }[/math]
</equation>

Es wird sichtbar, dass die Transformation der Koordinaten eines Vektors gerade äquivalent ist zu einer inversen Transformation der Komponenten der Basis. Alternativ können auch die Koordinaten der Vektoren als Basis aufgefasst werden und es wird ein Vektor im Dualraum aktiv gedreht.

Wichtig ist, dass sich unter aktiven Transformationen Koordinaten und Basis unterscheiden, und diese gerade invers zueinander transformieren.

Wenn nun eine kontravariante Komponente in die kovariant transformierende Basis eingefügt wird, transformiert diese invers, und die Basis kann nicht mehr als tensorielle Basis des euklidischen Raumes aufgefasst werden.

Die Frage ist nun, ob es einen Vektorraum gäbe, in welchem die Basis- und Vektorelemente wiederum als Tensoren aufgefasst werden können. Um dies zu untersuchen, schauen wir die Transformationen genauer an. Diese können als Exponentialreihen ausgedrückt werden:  

<equation id="eqn:su3.01" shownumber>
[math]\displaystyle{ \mathbf{U}=e^{t\mathbf{A}} \qquad \qquad \qquad \qquad \mathbf{U^{-1}}=\mathbf{U^T}=e^{-t\mathbf{A}} }[/math]
</equation>

Wobei [math]\displaystyle{ t }[/math] den Parameter der Transformation darstellt (den Drehwinkel) und [math]\displaystyle{ \mathbf{A} }[/math] eine schiefsymmetrische Matrix ist, mit [math]\displaystyle{ \mathbf{A^T=-A} }[/math]. Genauer bilden die Matrizen [math]\displaystyle{ \mathbf{A} }[/math] die zu [math]\displaystyle{ SO(4) }[/math] zugehörige Lie-Algebra [math]\displaystyle{ so(4) }[/math]: jene Algebra, welche die infinitesimalen linearen Koordinatentransformationen erzeugt, mit welcher mittels exponentieller Abbildung die ganze Lie-Gruppe [math]\displaystyle{ SO(4) }[/math] aufgespannt wird.

Wenn infinitesimale Transformationen betrachtet werden ([math]\displaystyle{ t }[/math] sehr klein), reicht es, die ersten Glieder der Exponentialreihe zu betrachten:  

<equation id="eqn:su3.01" shownumber>
[math]\displaystyle{ \mathbf{U}=e^{t\mathbf{A}}\approx{}(\mathbf{1}+t\mathbf{A}) \qquad \qquad \qquad \qquad \mathbf{U^{-1}}=e^{-t\mathbf{A}}\approx{}(1-t\mathbf{A}) }[/math]
</equation>

Hier wird die spezielle Rolle der Lie-Algebra deutlich. Bei der Anwendung der Transformation nach links auf die Basisvektoren gilt (rechts elementweise notiert):  

<equation id="eqn:su3.01" shownumber>
[math]\displaystyle{ \mathbf{\overset{\sim}{e}^T}=\mathbf{e^T U}\approx{}\mathbf{e^T}(\mathbf{1}+t\mathbf{A}) \qquad \qquad \qquad \overset{\sim}{e}_l={e}_kU_{\ \ \ l}^k\approx{}{e}_k{(1+tA)}_{\ \ \ l}^k }[/math]
</equation>

Umgestellt ergibt diese Gleichung die Änderung der Basisvektoren unter der Transformation:  

<equation id="eqn:su3.01" shownumber>
[math]\displaystyle{ \mathbf{{de}^T}=\mathbf{{\overset{\sim}{e}}^T-e^T}=t \,\mathbf{e^T A} \qquad \qquad \qquad {de}_l=\overset{\sim}{e}_l-{e}_l=t \, e_k A_{\ \ \ l}^k }[/math]
</equation>

Andererseits bewirkt eine aktive, infinitesimale Transformation der Vektorkoordinaten:  

<equation id="eqn:su3.01" shownumber>
[math]\displaystyle{ \mathbf{\overset{\sim}{v}}=\mathbf{U v}\approx{}(\mathbf{1}+t\mathbf{A}) \mathbf{v} \qquad \qquad \qquad \qquad \overset{\sim}{v}^{\ j}=U_{\ \ \ i}^j v^{\ i}\approx{}{(1+tA)}_{\ \ i}^j v^{\ i} }[/math]
</equation>

Und ergibt umgeschrieben die Änderung der Vektorkoordinaten:  

<equation id="eqn:su3.01" shownumber>
[math]\displaystyle{ \mathbf{dv}=\mathbf{\overset{\sim}{v}-v}=t \mathbf{Av} \qquad \qquad \qquad \qquad {dv}^{\ j}=\overset{\sim}{v}^{\ j}-v^{\ j}=t A_{\ \ i}^j v^{\ i} }[/math]
</equation>


Um die Änderung der Koordinaten [math]\displaystyle{ {dv}^{\ j} }[/math] mit der regulären Änderung der Basisvektoren [math]\displaystyle{ {de}_l }[/math] zu vergleichen, müssen die Koordinaten vom Vektorraum in den Dualraum übertragen werden. Dies funktioniert im euklidischen Raum mittels der Transponierung:  

<equation id="eqn:su3.01" shownumber>
[math]\displaystyle{ \mathbf{{dv}^T}={(t \mathbf{Av})}^T=t \, \mathbf{v^T A^T}=-t \, \mathbf{v^T A} \qquad \qquad {dv}_j=t \, v_i A_j^{\ \ \ i}=-t \, {v_i A}_{\ \ j}^i \qquad \left(\not=t e_k A_{\ \ \ l}^k \right) }[/math]
</equation>


Wobei im letzten Schritt die Schiefsymmetrie von [math]\displaystyle{ \mathbf{A} }[/math] ausgenutzt wurde [math]\displaystyle{ \left(A_l^{\ \ k}=-A_{\ \ \ l}^k \right) }[/math]. Durch den Vergleich mit der vorhergehenden Gleichung wird wie erwartet sichtbar, dass dies nicht der Transformationsvorschrift für Basiselemente entspricht.


Wenn wir den euklidischen Raum verlassen gilt, dass der Wechsel vom Vektorraum zum Dualraum mittels des metrischen Tensors[8] durchgeführt wird. Wir gehen davon aus, dass dieser Diagonalgestalt behält:  

<equation id="eqn:su3.01" shownumber>
[math]\displaystyle{ g_{ij}=g\cdot\delta_{ij} }[/math]
</equation>

Die Transformationsvorschrift für die Vektorkomponenten in den Dualraum lautet dann:  

<equation id="eqn:su3.01" shownumber>
[math]\displaystyle{ {dv}_l = g_{lj}{dv}^j= \left(g_{lj}g^{ik}t A_{\ \ i}^j g_{ki} v^i \right) = -g\cdot t\;{v_k A}_{\ \ \ l}^k \qquad \left(=:\ t\; e_k A_{\ \ \ l}^k \right) }[/math]
</equation>


Der Vergleich mit der Änderung des Elements des Basisvektors ganz rechts zeigt: Damit der Vektor die Transformationseigenschaften der Basis übernimmt, muss im entsprechenden Element der Metrik [math]\displaystyle{ g_{lj}=g=-1 }[/math] stehen. Genau dann entspricht die Änderung im durch den Vektor konstruierten Basiselement der Änderung eines regulären Basiselements:  

<equation id="eqn:su3.01" shownumber>
[math]\displaystyle{ {dv}_l=-g\cdot t\;{v_k A}_{\ \ \ l}^k = t\;{v_k A}_{\ \ \ l}^k = {de}_l }[/math]
</equation>

Damit wurde gezeigt: Wenn als Basiselement ein im euklidischen Raum kontravariant transformierender Vektor verwendet wird, kann ein Vektorraum konstruiert werden, in welchem dieses Basiselement regulär kovariant transformiert, wobei dieser Vektorraum im entsprechenden Metrik-Element einen negativen Eintrag erhält.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

 

Folgerungen

  1. Die neue Metrik erlaubt direkt die Definition eines angepassten Skalarproduktes und damit einer Norm. Diese ist aber nicht positiv definit.
  2. Der neu gefundene gemischte Raum ist wiederum ein Vektorraum. Er erfüllt alle geforderten Eigenschaften mit Ausnahme der positiv definiten Norm, und ist damit ein Minkowski-Vektorraum.
  3. Insbesondere folgt, dass die in der relativistischen Physik beobachteten negativen Metrikelemente ein Artefakt der Messung durch den flachen Beobachter sind, und nicht eine intrinsische Eigenschaft der Raumzeit. Die ungekrümmte Raumzeit kann als traditioneller vierdimensionaler euklidischer Raum aufgefasst werden, in welchem sich die Physik abspielt, und erst durch die Messung durch den flachen Beobachter entstehen scheinbare negative Metriken.

 

Weitere Illustration

Beispiel 2 – Normale und gemischte Drehung
Zunächst betrachten wir Drehungen in einem euklidischen Vektorraum, also bekannte, normale Drehungen. Man kann entweder die Vektoren drehen (kontravariante Drehung), oder – äquivalent dazu – das Basissystem in die entgegengesetzte Richtung drehen (kovariante Drehung):

Darstellung Koord Trafo1.png

Bemerkungen:

  1. In beiden Fällen bleibt dabei die Länge des Vektors ds gemäss euklidischer Norm erhalten.
  2. Man beachte die tiefgestellten Indices der Basisvektoren, welche darstellen, dass diese kovariant transformieren.


Wenn wir nun einen Raum betrachten, in welchem ein Basisvektor kontravariant transformiert – also so transformiert, wie wir es von einem Vektor erwarten würden – geschieht das Folgende:

Bei einer kontravarianten Drehung, die eigentlich nur die Vektoren drehen sollte, dreht sich dieser Basisvektor mit; denn er transformiert ja ebenfalls kontravariant. In der Skizze ist dieser Basisvektor entsprechend mit hochgestelltem Index dargestellt. Die übrigen, „normalen“ Basisvektoren bleiben aber konstant:

Darstellung Koord Trafo2.png

Die Distanz in y-Richtung wird nach der Drehung nicht mehr entlang der ursprünglichen y-Achse gemessen, sondern parallel zum gedrehten Basisvektor [math]\displaystyle{ \mathbf{e^y} }[/math]. Diese Richtung ist nach wie vor senkrecht zum Vektor ds, (rotes Winkelzeichen ganz rechts in der Skizze), da beide Objekte um den gleichen Winkel gedreht wurden.

Dadurch dreht sich aber der Pythagoras im Dreieck zur Distanzmessung im Vergleich zu der vorherigen Skizze: dx‘ ist neu die Hypotenuse des Dreiecks und das Vorzeichen wird gedreht (rot).

 

Offene Fragen

  • Es lässt sich nur die mathematische These beweisen. Bei der restlichen Argumentation handelt es sich um Beobachtungen. Lassen sich diese widerlegen oder weiter plausibilisieren?
  • Wie könnte die Beobachtung, dass nur ein Zeitpunkt gemessen werden kann, widerlegt werden? Gibt es ein Experiment, das zwei Zeitpunkte misst?
  • Die mathematische Behandlung wurde nur durchgeführt für ungekrümmte Räume. Könnte es im allgemeinen Fall zu weiteren Effekten kommen?
  • Ebenso wurde die mathematische Behandlung nur durchgeführt für lineare Transformationen. Wird auch eine Behandlung von affinen Transformationen benötigt? Wie sähe diese aus?
  • Als Rechentrick ist ein ähnlicher Zusammenhang zwischen euklidischem und Minkowski-Raum bereits bekannt, die Wick-Rotation (Komplexifizierung der Zeit-Koordinate). Wie ist der genaue Zusammenhang zum hier vorgestellten Vorgehen?

 

Verweise

  1. ↑ Contravariant Tensor, Wolfram Mathworld, accessed 23.5.2017 [1]
  2. ↑ Elektrodynamik, G. Graf, pp. 97ff, Anhang C: Tensorkalkül, ETH Zürich, 2008 [2]
  3. ↑ Seminar I: Vektoranalysis, Krummlinige Koordinatensysteme, Differentialoperatoren und Integralsätze, D. Hansen, FSU Jena, Theoretisch Physikalisches Institut, 2002 [3]
  4. ↑ Lie-Gruppen und Lie-Algebren Eine Einführung, D. Schliebner, Humboldt Universität zu Berlin, 2009 [4]
  5. ↑ Theoretische Physik, M. Bartelmann, B. Feuerbacher, T. Krüger, D. Lüst, A. Rebhan und A. Wipf, in Kapitel 27, Springer, 2014, p. 872ff.
  6. ↑ An Elementary Introduction to Groups and Representations, B. C. Hall, arXiv, 31.5.2000 [5]
  7. ↑ Lie Groups, Lie Algebras, and Representations, B. C. Hall, Springer, 2003.
  8. ↑ Metric Tensor, Wolfram Mathworld, accessed 19.5.2017 [6]

 


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