Struktur der Leptonen

Weinberg-Winkel, Neutrino-Misch-Matrix, PMNS-Matrix, Schwache Wechselwirkung, Neutrinos

Idee: Dieses Kapitel beschreibt die lokale, mikroskopische Anisotropie der Raumzeit durch das Raumzeit-Gitter. Dabei splitten drei unabhängige, im isotropen Fall entartete Energiezustände auf, die als Teilchengenerationen interpretiert werden. Der dadurch gefundene Zusammenhang zwischen den Teilchengenerationen liefert als Resultate bisher den Weinberg-Winkel und die Neutrino-Misch-Matrix (PMNS-Matrix).

 

Punktdefekte in der Theorie des elastischen Universums

In den Kapiteln eins bis drei wurde die Grundlage gelegt für eine Beschreibung der Raumzeit als vierdimensionales elastisches Gitter mit Materieteilchen als Defekte darin. Diese «Rumpf-Theorie» kann nun getestet werden, indem Folgerungen daraus abgeleitet werden, die dann verifiziert oder falsifiziert werden können.

Idee

Ein Punktdefekt ist eine Abweichung im Gitter an einer einzelnen Stelle. In Kapitel 2 wurde gezeigt, dass die Bewegungsgleichungen und die Wechselwirkungen mit dem umliegenden Gitter gerade den Gleichungen für ein geladenes Lepton (Elektron, Myon, Tauon) entsprechen. Dabei wurde der Punktdefekt als tatsächlich Punktförmig (null-dimensional) in einem homogenen elastischen vierdimensionalen Körper angenommen.

Die Vorstellung ist nun, dass dies einer Fernansicht entspricht, es aber möglich ist, „heran zu zoomen“, bis schliesslich die endliche Gitterstruktur sichtbar wird.

Schema: Links die Fernansicht: ein einzelner Punktdefekt in einer isotropen Raumzeit. Durch heranzoomen wird die teilweise strukturierte, nicht mehr isotrope Raumzeit und ggf. das Volumen des Defekts sichtbar.

Die These ist, dass drei Effekte sichtbar werden:

1. Es gibt – bedingt durch die Eigenschaften des Gitters – einen kleinsten Einheitsdefekt.
2. Der Defekt ist nicht mehr punktförmig, sondern existiert auf einem kleinsten Volumen.
3. Durch das umliegende Gitter ist der Körper lokal nicht mehr homogen. Einzelne Richtungen sind elastischer als andere.

Diese Situation wird nun betrachtet und mathematisch beschrieben. Der Einfachheit halber nur im statischen Fall, d.h. Es wird die Ruheenergie eines solchen Defekts betrachtet.

 

Was ist von dieser Betrachtung zu erwarten?
Die endliche Grösse des Defekts hat zur Folge, dass dieser eine gewisse Form annimmt. Dies bedeutet wiederum, dass der Defekt nicht mehr nur rein isotrope oder rein gerichtete Anteile besitzen kann, sondern aus einem Anteil von isotroper Volumenänderung und einem Anteil volumenerhaltender Scherung besteht.

Die beiden Anteile verhalten sich komplementär zueinander (die Aufteilung entspricht einer standardmässigen Zerlegung in homogene und spurfreie Anteile von Tensoren).

Die Anisotropie der Umgebung durch das Gitter führt dazu, dass sich die möglichen Zustände des Defektes tatsächlich energetisch unterscheiden. Je nach Ausrichtung der Scher-Anteile enthält seine Konfiguration mehr oder weniger Energie.

Davon ausgehend, dass die Homogenanteile gleichbleibend sind, bilden die möglichen Konfigurationen der volumenerhaltenden Scheranteile im vierdimensionalen Körper eine dreidimensionale Untermannigfaltigkeit, können also durch drei linear unabhängige Eigenmoden beschrieben werden. Ein bestimmter Defekt kann also drei Eigen-Scher-Konfigurationen annehmen.

Die Umwandlung zwischen diesen Konfigurationen erfolgt durch Änderungen in den Scher-Anteilen, währenddem die homogenen Anteile gleichbleibend sind.

 

Interpretation

Dies erlaubt die folgende erstaunliche Interpretation:
Ein solcher Einheits-Punkt-Defekt ist das Modell eines Leptons.

• Die isotropen Anteile entsprechen der elektrischen Ladung. Die elektromagnetische Wechselwirkung wirkt nur auf die isotropen Anteile (in Übereinstimmung mit Kapiteln 2 & 3).
• Die drei Eigenzustände der Scheranteile besitzen unterschiedliche Gesamtenergien und entsprechen der Generation (dem Flavour) des Teilchens, also ob es als Elektron, Myon oder Tauon gemessen wird.
• Um zwischen den Scher-Eigenzuständen zu wechseln, müssen die Scheranteile verändert werden. Eine Umwandlung mittels elektromagnetischer Wechselwirkung ist damit unmöglich.
• Die Umwandlung ist jedoch möglich, indem die Scheranteile der initialen Konfiguration subtrahiert, und die Scheranteile der Endkonfiguration addiert werden. Die Neutrinos entsprechen damit gerade den negativen Scheranteilen der entsprechenden geladenen Leptonen. Beispiel:

Feynman-Diagramm des Myon-Zerfalls: In der Interpretation unterscheiden sich Myon und Elektron nur durch einen unterschiedlichen Scher-Anteil. Die Neutrinos bestehen nur aus Scher-Anteilen. Das Myon gibt seine Scheranteile in Form eines Myon-Neutrinos ab, währenddem sich das Elektron seine Scheranteile in Form eines Anti-Elektron-Neutrinos einfängt. An den Vertices befindet sich damit jeweils ein rein isotroper Zustand, der für Myon und Elektron gleich ist, und der in Form des W-Bosons übertragen wird.

• Neutrinos besitzen kein Volumen, sondern nur Scheranteile.
• Die Summe aus isotroper und Scher-Energie entspricht der Ruheenergie des Defekts und damit der Masse, respektive dem Mass, mit welchem der Defekt das umliegende Gitter verzerrt.

Weitere Folgerungen bezüglich Leptonenzahl-Erhaltung, Flavour-Erhaltung unter der elektromagnetischen Wechselwirkung, Ladungserhaltung, sowie ein Modell für für W- und Z-Bosonen sind zu erwarten.

 

Vorgehen

Zunächst wird ein Ausdruck für die Ruheenergie eines hypothetischen Einheitsdefekts im isotropen Medium hergeleitet.

Danach wird dieser Zustand volumenerhaltend geschert. Dabei liegt der Fokus auf einer praktikablen Parametrisierung der Scherung. Da durch die drei geladenen Leptonen (Elektron, Myon, Tauon) die Energien drei einzelner Zustände bekannt sind, kann ein Gleichungssystem erstellt werden, welches die Gesamt-Scherung – die durch drei Parameter bestimmt ist – beschreibt.

Aufgrund der gewählten Parametrisierung kann dieses Resultat weiterverarbeitet und interpretiert werden:
Einerseits kann die Stärke der Scherung ermittelt und so verarbeitet werden, dass sie mit einem Parameter des heutigen Modells verglichen werden kann: Dem Weinberg-Winkel, welcher den Einfluss der Symmetriebrechung auf die Energieunterschiede der W- und Z-Bosonen beschreibt.

Weiterhin können die Scherungs-Anteile äquivalent im Komplementärraum [QUELLE] parametrisiert werden. Werden die originale und die komplementäre Parametrisierung in den dreidimensionalen Momentan-Raum projiziert, kann zwischen den beiden Konfigurationen eine Transformationsmatrix angegeben werden, welche mit der Neutrino-Misch-Matrix verglichen wird. Dies führt zu einem Vorschlag für den Mechanismus der Neutrino-Oszillation und der Berechnung der Neutrino-Mischungs-Parameter.

 

Existenz eines Einheitsdefekts

Eine Folgerung der Existenz eines Raumzeitgitters ist, dass es irgendeine Art von kleinstem Einheitsdefekt geben müsste. Also ein kleinstes Element endlicher Ausdehnung, welches aus dem Gitter entfernt oder hinzugefügt werden kann. Da bisher nichts über die genaue Struktur des Gitters angenommen wurde, kann es auch mehrere dieser Einheitsdefekte geben, im Falle, dass das Gitter eine komplexere Elementarzelle mit verschiedenen Massen enthält. Derartige Defekte, bei welchen nur ein einzelnes Element des Gitters verändert wird, werden Punktdefekte genannt.

Schema: harmonisches Gitter (links) und Punktdefekt (rechts) mit einzelnem abweichendem Element. Weitere Behandlung in Kapitel 2.

Ein solcher Einheitsdefekt wird nun eingeführt als 4-Kugel mit dem Radius einer vierdimensionalen Einheitszelle:

<equation id="eqn:Lepton.01" shownumber> [math]\displaystyle{ \mathbf{u}(\mathbf{r})=\mathbf{\Theta}^4(\mathbf{r_0}-\mathbf{r}) }[/math] </equation>

Mit [math]\displaystyle{ \mathbf{\Theta}^4 }[/math] der Heaviside-Funktion in vier Dimensionen. Der Deformationstensor entspricht der Ableitung der Auslenkungsfunktion:

<equation id="eqn:Lepton.02" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \mathbf{ε}(\mathbf{r})=\frac{\partial}{\partial r}\mathbf{u}(\mathbf{r})=\mathbf{δ}^4(\mathbf{r_0}-\mathbf{r}) }[/math] </equation>

und ist damit nur auf der Oberfläche der Kugel (der 3-Sphäre [math]\displaystyle{ S_3 }[/math]) ungleich null, wobei durch die Isotropie alle winkelabhängigen Komponenten verschwinden. Aus demselben Grund lässt sich die Delta-Funktion als reine Funktion des Radius [math]\displaystyle{ r }[/math] darstellen (analog zum Vorgehen in drei Dimensionen):

<equation id="eqn:Lepton.03" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \mathbf{δ}^4(r, \eta, \xi_1, \xi_2)=\frac{1}{2\pi^2r^3}\delta(r) }[/math] </equation>

Und damit:

<equation id="eqn:Lepton.04" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \mathbf{ε}(r)=\frac{1}{2\pi^2r_0^3}\delta(r_0-r) }[/math] </equation>

Der Radius ist in der mikroskopischen Betrachtung normiert:

<equation id="eqn:Lepton.05" shownumber> [math]\displaystyle{ r_0 = 1 }[/math] </equation>

Und damit:

<equation id="eqn:Lepton.06" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \mathbf{ε}(r)=\frac{1}{2\pi^2}\delta(1-r) }[/math] </equation>

Der zugehörige mikroskopische Spannungstensor lautet (Kapitel 3):

<equation id="eqn:Lepton.07" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \mathbf{σ}(r) = k \cdot \frac{\mathbf{ε}(r)}{(2\mu^\prime+4\lambda^\prime)} =k \cdot \frac{1}{2\pi^2(2\mu^\prime+4\lambda^\prime)}\delta(1-r) =\frac{4\mu^\prime c^2}{2\pi^2}\delta(1-r) }[/math] </equation>

Der Umrechnungsfaktor [math]\displaystyle{ k=k_1 \cdot k_2 = 4\mu^\prime c^2\ \cdot \left( 2\mu^\prime + 4\lambda^\prime \right)\cdot e^\ast }[/math] von der makroskopischen in die mikroskopische Federkonstante wird umgekehrt proportional zu den Voigt-Koeffizienten eingeführt.

Damit gilt für die Energie:

<equation id="eqn:Lepton.08" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle V=V_{\parallel}=-\frac{1}{2}\cdot \int_\mathbf{V} \mathrm{tr}(\mathbf{εσ})\mathbf{dV} =-\frac{1}{2}\cdot 4\mu^\prime c^2 \frac{1}{{\left(2{\pi{}}^2\right)}^2} \int_{\mathbf{∂V}} \delta (1-r)\mathbf{dA} =-\frac{1}{2}\cdot 4\mu^\prime c^2 \frac{1}{{\left(2{\pi{}}^2\right)}^2}S_3=-\frac{\mu^\prime c^2}{{\pi}^2} }[/math] </equation>

Mit [math]\displaystyle{ S_3=2\pi^2 }[/math] der Oberfläche der 3-Einheitssphäre. Die Lagrangedichte als Funktion des normierten Auslenkungsfeldes und bei Annahme von unabhängigen Feldern (analog Kapitel 2) lautet:

<equation id="eqn:Lepton.09" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \mathcal{L}=-V=-V_{\parallel}=\frac{2\mu^\prime c^2}{{\pi}^2}\mathbf{w_{\alpha}^{\dagger}w_{\alpha}} }[/math] </equation>

Mit [math]\displaystyle{ \int{\mathbf{w_{\alpha}^{\dagger}w_{\alpha}}}dV=c^2 }[/math]. Der Vorfaktor [math]\displaystyle{ c^2 }[/math] entsteht beim Übergang aus dem euklidischen Raum in die Mess-Koordinaten. Dabei erscheint durch den Wechsel von der Koordinate [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] zur Messung als Eigenzeit [math]\displaystyle{ \tau }[/math] mit [math]\displaystyle{ \frac{dx_0}{d\tau}=c }[/math] ein zusätzlicher Vorfaktor [math]\displaystyle{ c }[/math] aus beiden jeweiligen Feldern.

Damit ergibt sich die gemessene Ruheenergie des Einheitsdefekts im isotropen Medium als:

<equation id="eqn:Lepton.10" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle E_{\parallel}=\int\mathcal{L}dV=\frac{2\mu^\prime c^4}{{\pi}^2} }[/math] </equation>

Und

<equation id="eqn:Lepton.11" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle m_{\parallel}=\frac{E_{\parallel}}{c^2} =\frac{2\mu^\prime c^2}{{\pi}^2} = 1.890\, 742\, 34(9) \cdot {10}^{-27}\, kg }[/math] </equation>

Angegeben ist das 3σ-Fehlerintervall, wobei:

<equation id="eqn:Lepton.12" shownumber> [math]\displaystyle{ c=299\ 792\ 458\,\frac{m}{s} }[/math] </equation>

Und [math]\displaystyle{ \mu^\prime }[/math] aus den vorhergehenden Kapiteln:

<equation id="eqn:Lepton.13" shownumber> [math]\displaystyle{ \mu^\prime=1.038\,151\,40(5) \cdot {10}^{-43}\, N^{-1} }[/math] </equation>

Nun ist aber die Deformation nicht isotrop.

[math]\displaystyle{ {\overset{\sim}{x}} }[/math]

Symmetriebrechung

Betrachtet wird ein Einheitsvolumen des Gitters ohne Defekt. Die Symmetriebrechung bedeutet, dass eine isotrope Spannung nicht mehr eine isotrope Deformation bewirkt, sondern in verschiedene Richtungen verschieden starke Deformationen hervorruft.

Dies kann in das Gleichungssystem eingebracht werden, indem die Proportionalitätskonstante zwischen Spannungs- und Deformationstensor im Materialgesetz tensorielle Form annimmt und zum Elastizitätstensor vierter Stufe [math]\displaystyle{ {\overset{\sim}{c}}_{ijkl} }[/math] wird:

<equation id="eqn:Lepton.14" shownumber> [math]\displaystyle{ \varepsilon_{ij}={\overset{\sim}{c}}_{ijkl} \cdot \sigma_{kl} }[/math] </equation>

Ohne Einschränkung der Allgemeinheit bleiben der Deformationstensor [math]\displaystyle{ \mathbf{ε} }[/math] und der Spannungstensor [math]\displaystyle{ \mathbf{σ} }[/math] symmetrisch und können in Diagonalgestalt gebracht werden mit reellen Eigenwerten.

Näherung:
Zusätzlich wird folgende Annahme gemacht, welche das Problem wesentlich vereinfacht:

Der Spannungstensor und der Deformationstensor sind gleichzeitig diagonalisierbar. Diese Bedingung sollte insbesondere bei Mittelung über mehrere Zellen erfüllt sein.

Diese Näherung ist gleichbedeutend damit, dass die beiden Tensoren kommutieren, womit ein System von orthonormierten Eigenvektoren [math]\displaystyle{ \mathbf{e}_i }[/math] existiert, welche Eigenvektoren beider Tensoren sind, jeweils zu unterschiedlichen (reellen) Eigenwerten [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math] und [math]\displaystyle{ {\overset{\sim}{c}}_i\lambda_i }[/math].

<equation id="eqn:Lepton.15" shownumber> [math]\displaystyle{ \mathbf{σe}_i=\lambda_i\mathbf{e}_i \qquad \qquad \mathbf{εe}_i=\overset{\sim}{c}_i\lambda_i\mathbf{e}_i }[/math] </equation>

Damit wirkt sich eine volumenerhaltende Deformation so aus, dass sich der isotrope Initialzustand zu einer Ellipse deformiert, da sie lediglich die Radien verändert.

Parametrisiert werden kann dieser Vorgang, indem die Bewegung eines Punktes (rot) auf der Einheitssphäre verfolgt wird, und der hyperbolische Winkel [math]\displaystyle{ A_{hyp} }[/math] zwischen dem initialen und dem finalen Zustand angegeben wird:

Dies ist das analoge Prinzip zur Parametrisierung einer Drehung: um Drehungen zu parametrisieren, ist es üblich, einen Einheitsvektor im Initialzustand zu wählen, und dessen Bewegung in den finalen Zustand zu verfolgen. Die Stärke der Drehung wird durch den Winkel zwischen den Vektoren charakterisiert.

Beim analogen Vorgehen bei volumenerhaltenden Scherungen bewegt sich der betrachtete Punkt jedoch nicht auf einer Einheitssphäre, sondern auf einer Hyperbel (rote Linie in der Darstellung unten), und die Stärke der Scherung wird durch einen hyperbolischen Winkel charakterisiert:

Beispiel einer schwächeren und einer stärkeren volumenerhaltenden Scherung. Der rote Punkt, im undeformierten Zustand auf der x-Achse liegend, bewegt sich auf einer Hyperbel nach oben rechts. Der hyperbolische Winkel [math]\displaystyle{ A }[/math] entspricht der zweifachen Fläche unter dem Ortsvektor (grün) und ist ein Mass für die Stärke der Scherung.

Im Wesentlichen ist das Prinzip bei Drehungen und Scherungen jedoch dasselbe, man kann sogar den hyperbolischen Winkel in einen trigonometrischen Winkel [math]\displaystyle{ \alpha^\prime }[/math] umrechnen, indem man die Projektion des Scherungszustandes auf die Einheitskugel betrachtet:

Links die Situation mit dem hyperbolischen Winkel [math]\displaystyle{ A }[/math] und eingetragen den anteiligen Projektionen auf die Koordinatenachsen [math]\displaystyle{ \mathrm{sinh}\ A }[/math] und [math]\displaystyle{ \mathrm{cosh}\, A }[/math]. Das Dreieck [math]\displaystyle{ PQR }[/math] ist ähnlich zum Dreieck [math]\displaystyle{ PST }[/math] in der Abbildung rechts, welche die Projektion auf den Einheitskreis und den trigonometrischen Winkel [math]\displaystyle{ \alpha^\prime }[/math] hervorhebt. Die Ähnlichkeit bedingt, dass die Steigung der Geraden [math]\displaystyle{ PQ }[/math] links und [math]\displaystyle{ PS }[/math] rechts gleich sind. Die Steigungen der beiden Geraden sind gegeben durch [math]\displaystyle{ \mathrm{tanh}\, A=\frac{\mathrm{sinh}\, A}{\mathrm{cosh}\, A} }[/math] und [math]\displaystyle{ \mathrm{tan}\, \alpha^\prime\ =\frac{\mathrm{sin}\, \alpha^\prime\ }{\mathrm{cos}\, \alpha^\prime\ } }[/math] respektive und können gleichgesetzt werden, womit gilt, dass:

[math]\displaystyle{ \alpha^\prime = \mathrm{atan}(\mathrm{tanh}\, A) }[/math]

Bei der Abbildung auf den Einheitskreis wird also der hyperbolische Winkel in den trigonometrischen Winkel umgerechnet und die hyperbolischen Funktionen durch trigonometrische Funktionen ersetzt.

Allerdings ist die entsprechende Abbildung zwar bijektiv, aber kein Homomorphismus, was bedeutet, dass verschiedene Scherungen nur in der hyperbolischen Parametrisierung addiert (oder sonst manipuliert) werden dürfen. Weitere Details zu der Parametrisierung sind in Artikel 2 zu finden [REF]. Eine reelle Parametrisierung der Scherung einer 3-Einheitssphäre in vier Dimensionen sieht wie folgt aus:

<equation id="eqn:Lepton.16" shownumber> [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_i=\left(\begin{array}{cccc} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \qquad \qquad \mathbf{v}_f=\left(\begin{array}{cccc} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{cccc} \mathrm{cosh}\, \eta\ \mathrm{sinh}\, {\xi}_1 \\ \mathrm{sinh}\, \eta\ \mathrm{cosh}\, {\xi}_2 \\ \mathrm{sinh}\, \eta\ \mathrm{sinh}\, {\xi}_2 \\ \mathrm{cosh}\, \eta\ \mathrm{cosh}\, {\xi}_1 \end{array}\right) }[/math] </equation>

Diese Parametrisierung orientiert sich eng an den Hopf-Koordinaten im euklidischen Raum. Eine Einführung zu den speziellen Eigenschaften dieser Koordinaten gibt es z.B. in . Eine Übersicht über die verwendeten Parametrisierungen wird in Tabelle 1 gegeben.

Die reinen Scherungsanteile lauten damit:

<equation id="eqn:Lepton.17" shownumber> [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_f - \mathbf{v}_i =\left(\begin{array}{cccc} \mathrm{cosh}\, \eta\ \mathrm{sinh}\, {\xi}_1 \\ \mathrm{sinh}\, \eta\ \mathrm{cosh}\, {\xi}_2 \\ \mathrm{sinh}\, \eta\ \mathrm{sinh}\, {\xi}_2 \\ \mathrm{cosh}\, \eta\ \mathrm{cosh}\, {\xi}_1 - 1 \end{array}\right) }[/math] </equation>

Die Parametrisierung gewährleistet, dass sich die gescherten Punkte immer auf einer Einheitshyperbel mit [math]\displaystyle{ -{x_0}^2-{x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2=1 }[/math] befinden. Dabei handelt es sich um die Einheitsfläche im hyperbolischen Raum [math]\displaystyle{ \mathbb{H}^2 }[/math], wiederum analog zur Einheitssphäre [math]\displaystyle{ {x_0}^2+{x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2=1 }[/math], welche die Einheitsfläche im [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^4 }[/math] bildet, und worauf sich die Einheitsvektoren unter Drehungen bewegen. Die entsprechenden Lie-Gruppen heissen [math]\displaystyle{ SU(1,1) }[/math] für die Scherungen und [math]\displaystyle{ SU(2) }[/math] für die Drehungen.

Der Wechsel der Metrik-Vorzeichen bewirkt eine Vertauschung von volumenerhaltenden Scher-Anteilen und Drehanteilen.

Dieses Verständnis ist wichtig, da in unserem Fall eine Zusatzschwierigkeit auftaucht:
Die Messung des Symmetriebruchs (der Scherung) erfolgt nicht im euklidischen Raum, sondern im Minkowski Raum mit Metrik Signatur (- - - +). Das Problem kann mittels der oben genannten Überlegungen gelöst werden: auch im Minkowski-Raum lässt sich eine Einheitsfläche parametrisieren, deren Komponenten dann in den hyperbolischen Raum übertragen werden.

Die drei Parameter [math]\displaystyle{ \eta,\ \xi_1,\ \xi_2 }[/math] können bestimmt werden, wenn drei unterschiedliche, erlaubte Zustände bekannt sind. Die geladenen Leptonen entsprechen gemäss Modell gerade vierdimensionalen Punktdefekten. Der Scheranteil ihrer Energie entspricht demnach gerade drei erlaubten Scherungs-Zuständen.

Der isotrope Anteil der Energie [math]\displaystyle{ E_\parallel=\frac{2\mu^\prime c^4}{\pi^2} }[/math] wurde bereits berechnet, der Scheranteil [math]\displaystyle{ E_\bot }[/math] entspricht gerade der Differenz [math]\displaystyle{ E_\bot=E_{tot}-E_\parallel }[/math] der einzelnen Zustände. Die Energie des undeformierten Zustandes kann als Vektor mit Betrag [math]\displaystyle{ E_\parallel }[/math] parametrisiert werden.

Zusammengefasst ergibt dies das Gleichungssystem:

<equation id="eqn:Lepton.18" shownumber> [math]\displaystyle{ E_\parallel \cdot \left(\begin{array}{cccc} \mathrm{cosh}\, \eta\ \mathrm{sinh}\, {\xi}_1 \\ \mathrm{sinh}\, \eta\ \mathrm{cos}\, {\xi}_2^\prime \\ \mathrm{sinh}\, \eta\ \mathrm{sin}\, {\xi}_2^\prime \\ \mathrm{cosh}\, \eta\ \mathrm{cosh}\, {\xi}_1 - 1 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{cccc} E_e - E_\parallel \\ E_\mu - E_\parallel \\ E_\tau - E_\parallel \\ E_4 - E_\parallel \end{array}\right) }[/math] </equation>

Mit dem Resultat:

<equation id="eqn:Lepton.19" shownumber> [math]\displaystyle{ \eta=0.9674(2) }[/math] </equation>

<equation id="eqn:Lepton.20" shownumber> [math]\displaystyle{ \xi_1=-0.62284(8) }[/math] </equation>

<equation id="eqn:Lepton.21" shownumber> [math]\displaystyle{ \xi_2 = \mathrm{atanh}\left(\mathrm{tan}\,\xi_2^\prime\right)=0.9729(12) }[/math] </equation>

<equation id="eqn:Lepton.22" shownumber> [math]\displaystyle{ \left( m_4 = \frac{E_4}{c^2} = 3.4168(6)\cdot {10}^{-27}\ kg\right) }[/math] </equation>

Bemerkungen:

• Angegeben ist das 3σ-Fehlerintervall, die Fehlerrechnung ist im Anhang.
• Die Parametrisierung erfolgt im Minkowski-Raum. Eine Übersicht über die verwendeten Parametrisierungen wird in Tabelle 1 gegeben.
• Die Parametrisierung ist nicht eindeutig, es sind auch andere Parametrisierungen möglich. Insbesondere kann die Zuordnung der Koordinaten permutiert werden. Diese Parametrisierung wurde gewählt, weil sie reelle und fast isokline Lösungen liefert ([math]\displaystyle{ \xi_2 \sim \eta }[/math] und auch [math]\displaystyle{ \xi_2^\prime\ \sim \left|\xi_1\right| }[/math]).
• Das Gleichungssystem besitzt mehrere Lösungen. Es wird diejenige gewählt, welche alle Winkel in das Intervall [math]\displaystyle{ \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) }[/math] abbildet und möglichst viele positive Vorzeichen hat.
• Das vierte Elementarteilchen mit Energie [math]\displaystyle{ E_4 }[/math] äussert sich nur als Linearkombination der drei Haupt-Teilchen und ist damit nicht eigenständig manifestiert und messbar.

Als Eingangsgrössen dienten die Werte aus . In Klammern ist die Standardunsicherheit angegeben:

<equation id="eqn:Lepton.23" shownumber> [math]\displaystyle{ m_e = \frac{E_e}{c^2}=9.109\,383\,56(11)\cdot{10}^{-31}\ kg }[/math] </equation>

<equation id="eqn:Lepton.24" shownumber> [math]\displaystyle{ m_\mu = \frac{E_\mu}{c^2}=1.883\,531\,594(48)\cdot{10}^{-28}\ kg }[/math] </equation>

<equation id="eqn:Lepton.25" shownumber> [math]\displaystyle{ m_\tau = \frac{E_\tau}{c^2}=3.167\,47(31)\cdot{10}^{-27}\ kg }[/math] </equation>

 

Tabelle 1: Die verwendeten Räume, Parametrisierungen und Zusammenhänge. Quellen: hyperbolischer Raum: , Minkowski-Raum: , Euklidisch: .

Bemerkungen zu den Parametrisierungen:

• Für die Gruppen [math]\displaystyle{ SU(1,1) }[/math] und [math]\displaystyle{ SU(2) }[/math] bieten sich Parametrisierungen mit komplexwertigen Koordinaten an. Zwei Möglichkeiten sind hier aufgezeichnet.
• Bei den komplexen Parametrisierungen wird mit Halbwinkeln gearbeitet, üblicherweise um die Eigenschaft als doppelte Überlagerung von [math]\displaystyle{ SO(3) }[/math] zu verdeutlichen. Die Halbierung der Winkel erfolgt aber wiederum im hyperbolischen Raum.
• Üblicherweise gelingt der Übergang von [math]\displaystyle{ SU(1,1) }[/math] zu [math]\displaystyle{ SU(2) }[/math] durch Komplexifizierung des Körpers, auf den die jeweilige Gruppe wirkt. Dadurch geht aber Information verloren, der Unterschied zwischen Scherungen und Rotationen ist in dieser Darstellung nicht mehr sichtbar. Deshalb wurde hier ein alternatives Vorgehen via Projektion auf die Einheitsfläche entworfen. (die Lie-Algebren [math]\displaystyle{ su(1,1) }[/math] und [math]\displaystyle{ su(2) }[/math] sind beide Subalgebren der Algebra [math]\displaystyle{ sl(2,\mathbb{C}) }[/math] der 2x2 Matrizen mit Determinante 1 auf dem Körper [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]. Die beiden Subalgebren unterscheiden sich nur durch Komplexifizierung einzelner Elemente, siehe z.B. .)

 

Weinberg-Winkel

Idee

Die gefundene [math]\displaystyle{ SU(1,1) }[/math]-Parametrisierung kann mithilfe der vorhergehenden Überlegungen auf die drei-Einheitssphäre und damit auf eine [math]\displaystyle{ SU(2) }[/math]-Parametrisierung projiziert werden.

Die so ermittelte Projektion entspricht der Wirkung des Symmetriebruchs durch volumenerhaltende Scherung auf Objekte mit [math]\displaystyle{ SU(2) }[/math]-Symmetrie. Die Stärke des Symmetriebruchs ist ein Mass für die Aufsplittung der ohne Symmetriebruch entarteten Energiezustände in [math]\displaystyle{ SU(2) }[/math].

Die Eichbosonen der schwachen Wechselwirkung sind derartige Objekte mit [math]\displaystyle{ SU(2) }[/math]-Symmetrie. Die Aufsplittung ihrer Energieniveaus ist gegeben durch den Weinbergwinkel [math]\displaystyle{ \theta_W }[/math]:

<equation id="eqn:Lepton.26" shownumber> [math]\displaystyle{ \cos^2 \theta_W=\left(\frac{m_W}{m_Z}\right)^2 \qquad }[/math] oder [math]\displaystyle{ \qquad \sin^2 \theta_W=1-\left(\frac{m_W}{m_Z}\right)^2 }[/math] </equation>

Mit [math]\displaystyle{ m_W }[/math] und [math]\displaystyle{ m_Z }[/math] den Ruhemassen des W- und des Z-Bosons.

Also:
Die Projektion des parametrisierten Symmetriebruchs lautet:
Initialzustand:

<equation id="eqn:Lepton.27" shownumber> [math]\displaystyle{ z_{1i}=0 \qquad \qquad z_{2i}=1 }[/math] </equation>

Finalzustand:

<equation id="eqn:Lepton.28" shownumber> [math]\displaystyle{ z_{1f}=\sin\left(\eta_h^\prime\right)\cdot \exp\left(i\cdot\xi_{h2}^\prime\right) \qquad \qquad z_{2f}=\cos\left(\eta_h^\prime\right)\cdot \exp\left(i\cdot\xi_{h1}^\prime\right) }[/math] </equation>

Mit

<equation id="eqn:Lepton.29" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \eta_h^\prime=\mathrm{atan}\left(\tanh \frac{\eta}{2}\right)=0.42218(6) }[/math] </equation>

<equation id="eqn:Lepton.30" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \xi_{h1}^\prime=\mathrm{atan}\left(\tanh \frac{\xi_1}{2}\right)=-0.29304(3) }[/math] </equation>

<equation id="eqn:Lepton.31" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \xi_{h2}^\prime=\mathrm{atan}\left(\tanh \frac{\xi_2}{2}\right)=0.4240(4) }[/math] </equation>

Alle Werte im Bogenmass, angegeben ist das 3σ-Fehlerintervall, die Fehlerrechnung ist im Anhang.

Dabei wurde in die komplexe Darstellung gewechselt, um Kompatibilität mit der üblichen Parametrisierung der [math]\displaystyle{ SU(2) }[/math] zu erhalten.

Resultat

Die Stärke des Symmetriebruchs entspricht dem Winkel zwischen diesen beiden Vektoren, der durch das Skalarprodukt gefunden werden kann. Dieser Winkel entspricht dem Weinbergwinkel:

<equation id="eqn:Lepton.32" shownumber> [math]\displaystyle{ \cos \theta_W=\langle \left(\begin{matrix}z_{1i}\\z_{2i}\\\end{matrix}\right), \left(\begin{matrix}z_{1f}\\z_{2f}\\\end{matrix}\right) \rangle =\left( \mathrm{Re}({\bar{z}}_{1i}), \mathrm{Im}({\bar{z}}_{1i}), \mathrm{Re}({\bar{z}}_{2i}), \mathrm{Im}({\bar{z}}_{2i}) \right) \cdot \left(\begin{matrix}\mathrm{Re}(z_{1f}) \\\mathrm{Im}(z_{1f}) \\\mathrm{Re}(z_{2f}) \\\mathrm{Im}(z_{2f}) \\\end{matrix}\right) =\cos\left(\eta_h^\prime\right) \cdot \cos\left(\xi_{h1}^\prime\right) }[/math] </equation>

und damit

<equation id="eqn:Lepton.33" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \theta_W=\mathrm{acos} \left[\cos\left(\eta_h^\prime\right)\cdot \cos\left(\xi_{h1}^\prime\right)\right]=29.154(4)^{\circ} }[/math] </equation> <equation id="eqn:Lepton.34" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle {\sin}^2 \theta_W = 0.23733(6) }[/math] </equation> Angegeben ist das 3σ-Fehlerintervall. Die Fehlerrechnung befindet sich im Anhang.

 

Neutrino-Misch-Matrix (PMNS-Matrix)

Zur Parametrisierung von Scherungen

Ein Scherungszustand kann auf mehrere Arten parametrisiert werden. Wie in Artikel 2 [QUELLE] ausgeführt, parametrisiert der Vektor [math]\displaystyle{ \mathbf{\overset{\smallsmile}{v}{}^\prime_{sp}} }[/math] denselben Scherungszustand, gemessen im komplementären Minkowski-Raum [math]\displaystyle{ \mathbb{\overset{\smallsmile}{M}}{}^4 = \mathbb{R}(3,1) }[/math], wie der Vektor [math]\displaystyle{ \mathbf{v}^\prime }[/math], gemessen im originalen Minkowski-Raum [math]\displaystyle{ \mathbb{M}^4 = \mathbb{R}(1,3) }[/math]. Bei der winkeltreuen Abbildung dieser beiden Zustände in den [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^4 }[/math] ändert sich aber die Drehrichtung der Scherung und damit ihre Händigkeit:

Darstellung eines Scherungszustandes [math]\displaystyle{ \mathbf{v}^\prime }[/math] (links), und der äquivalenten Konfiguration im komplementären Raum [math]\displaystyle{ \mathbf{\overset{\smallsmile}{v}{}^\prime_{sp}} }[/math], dargestellt in der [math]\displaystyle{ x_0 x_3 }[/math]-Ebene des [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^4 }[/math]. Beide Zustände beschreiben denselben Scherzustand (grau gestrichelte Form), die Parametrisierung ist jedoch an der 45° Achse gespiegelt und die Richtung des Scherungswinkels umgedreht.

Die originale Konfiguration [math]\displaystyle{ \mathbf{v}^\prime }[/math] ist rechtshändig [math]\displaystyle{ \left({\mathrm{sgn}(\xi}_1)\neq{\mathrm{sgn}(\xi}_2)\right) }[/math], die komplementäre Konfiguration ändert das Vorzeichen des Scherungswinkels in der [math]\displaystyle{ x_0 x_3 }[/math]-Ebene und ist damit linkshändig [math]\displaystyle{ \left({\mathrm{sgn}(\xi}_1)={\mathrm{sgn}(\xi}_2)\right) }[/math].

 

Interpretation und These

Für reine Scherungsdefekte ohne Volumenanteile (postuliertes Modell für Neutrinos) existieren damit zwei äquivalente realisierbare Parametrisierungen.

These:
Es ist für reine Scherungszustände (Neutrinos) möglich, zwischen den zwei äquivalenten Parametrisierungen – gegeben durch [math]\displaystyle{ \mathbf{v}^\prime }[/math] und [math]\displaystyle{ \mathbf{\overset{\smallsmile}{v}{}^\prime_{sp}} }[/math] – zu wechseln.

Die winkeltreue Projektion dieses Überganges in den dreidimensionalen Momentanraum durch die Hopf-Abbildung wird gemessen als Neutrino-Misch-Matrix (PMNS-Matrix).

 

Was ist die Hopf-Abbildung?

Eine Eigenschaft der Drehgruppe in vier Dimensionen ist ihre Verwandtschaft mit Drehungen in drei Dimensionen. Diese Eigenschaft ist mittels der Hopf-Koordinaten gut darstellbar und heisst Hopf-Abbildung (Hopf-Map).

Diese Abbildung projiziert die 3-Sphäre auf die 2-Sphäre. Da es sich um eine Projektion handelt, werden dabei einige Punkte der 3-Sphäre auf den gleichen Punkt der 2-Sphäre projiziert. Die Menge aller Punkte, welche auf denselben Punkt projiziert werden, befinden sich auf einem Kreis. Man nennt diese Punkte die Hopf-Faserung (Hopf-Fibration).

Dasselbe Prinzip funktioniert auch im hyperbolischen Raum mittels der hyperbolischen Hopf-Abbildung.

 

Vorgehen

1. Substitution der Koordinaten für die Hopf-Abbildung im [math]\displaystyle{ \mathbb{H}^2 }[/math].
2. Abbildung der originalen R-Parametrisierung in den [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^4 }[/math] und von da Projektion in den [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math] mittels der Hopf-Abbildung.
3. Dasselbe Vorgehen für die komplementäre L-Parametrisierung, gegeben durch Vertauschung von zwei Achsen (Spiegelung an der 45°-Geraden zwischen den beiden Achsen).
4. Behandlung der Hopf-Fibration als Phase.
5. Ermittlung der Transformationsmatrix zwischen R- und L-Zustand im [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math].
6. Vergleich der Betragsquadrate mit der PMNS-Matrix.

(Das Vorgehen wäre auch möglich mittels der hyperbolischen Hopf-Abbildung. Dieser Weg erfordert jedoch weitergehende Überlegungen bezgl. der zugrundeliegenden Lie-Algebren und ist deutlich länger. Die Rechnung ist im Anhang aufgeführt.)

 

Rechnung und Resultat

1. & 2. Substitution im [math]\displaystyle{ \mathbb{H}^2 }[/math] und Projektion in den [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math]:

Tabelle 2: Hopf-Abbildung in Kurzform. Die Winkel werden im hyperbolischen Raum addiert (Pfeil).

Mit dem Resultat im Momentan-Raum:

<equation id="eqn:Lepton.35" shownumber> [math]\displaystyle{ \mathbf{v^\prime} =\left(\begin{array}{c} \sin\left({\eta}^\prime\right) \cdot \cos\left({\xi}_-^\prime\right) \\ \sin\left({\eta}^\prime\right) \cdot \sin\left({\xi}_-^\prime\right) \\ \cos\left({\eta}^\prime\right) \end{array}\right) }[/math] </equation>

 

3. Dasselbe für die komplementäre Parametrisierung:
Die Spiegelung erfolgt auf der 45° Achse in der durch [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] und [math]\displaystyle{ x_3 }[/math] aufgespannten Ebene. In der komplexen Parametrisierung entspricht dies einem Tausch der komplexen und reellen Anteile der komplex konjugierten Koordinate, also [math]\displaystyle{ z_2^{\ast\prime}= i\cdot{\bar{z}}_2^\prime }[/math].

Tabelle 3: Hopf-Abbildung in Kurzform mit Raumspiegelung. Die Winkel werden im hyperbolischen Raum addiert (Pfeil).

Der Effekt der Spiegelung im [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math] ist also ein Wechsel von [math]\displaystyle{ {\xi^\prime}_{-} }[/math] zu [math]\displaystyle{ \xi_{+}^\prime }[/math] und eine Vertauschung der x- und y-Achse. Die gespiegelte Konfiguration lautet:

<equation id="eqn:Lepton.36" shownumber> [math]\displaystyle{ \mathbf{v^{\ast\prime}} =\left(\begin{array}{c} \sin\left({\eta}^\prime\right) \cdot \sin\left({\xi}_+^\prime\right) \\ \sin\left({\eta}^\prime\right) \cdot \cos\left({\xi}_+^\prime\right) \\ \cos\left({\eta}^\prime\right) \end{array}\right) }[/math] </equation>

 

4. Behandlung der Hopf-Fibration als Phase:
Der Vergleich der beiden Konfigurationen [math]\displaystyle{ \mathbf{v}^\prime=(x^\prime,y^\prime,z^\prime) }[/math] und [math]\displaystyle{ \mathbf{v}^{\ast\prime}=(x^{\ast\prime}, y^{\ast\prime}, z^{\ast\prime}) }[/math] liefert bereits durchaus interessante Resultate. Es ist aber zusätzlich zu berücksichtigen, dass ausgehend von derselben Initial-Konfiguration nicht beide Konfigurationen in denselben Momentanraum projiziert werden.

Die beiden projizierten Zustände unterscheiden sich durch die Phase in der Hopf-Faserung. Diese ist nicht absolut feststellbar, jedoch die Differenz zwischen den beiden Zuständen:

<equation id="eqn:Lepton.37" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \delta=\xi_-^\prime-\xi_+^\prime = {-\xi}_2^\prime=-36.87(2)^{\circ} }[/math] </equation> Oder auf das Intervall [math]\displaystyle{ \left[ 0,\ 360^{\circ} \right) }[/math] übertragen: <equation id="eqn:Lepton.38" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \delta = 323.13(2)^{\circ} }[/math] </equation> Angegeben ist das 3σ-Fehlerintervall. Die Fehlerrechnung befindet sich im Anhang.

Der Phasenunterschied in der Faserung bedeutet, dass wenn die eine Konfiguration komplett in den Momentanraum projiziert wird, die zweite Konfiguration immer noch Anteile in der Zeitkomponente besitzt. Sie wird deshalb im Momentanraum verkürzt gemessen.

Zurückverfolgt auf den Initialzustand der gespiegelten Konfiguration ergibt dies, dass dieser um eine Phase [math]\displaystyle{ \exp\left(i\cdot\delta\right) }[/math] in die Zeitebene gedreht ist im Vergleich zum ungespiegelten Initialzustand. Wir betrachten nur die Projektion des Zustands in den Momentanraum (d.h. nur den Realanteil der Phase) und stellen diese wie folgt fest:

<equation id="eqn:Lepton.39" shownumber> [math]\displaystyle{ \mathbf{v_{phase}^\prime} = \mathrm{Re}\left[\mathbf{R_{phase}}\cdot \mathbf{v^\prime}\right] =\mathrm{Re} \left[\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \exp\left(i\cdot\delta{}\right) \end{array}\right) \cdot \mathbf{v^\prime}\right] =\left(\begin{array}{ccc} \sin\left({\eta}^\prime\right) \cdot \cos\left({\xi}_-^\prime\right) \\ \sin\left({\eta}^\prime\right) \cdot \sin\left({\xi}_-^\prime\right) \\ \cos\left(\delta\right) \cdot \cos\left({\eta}^\prime\right) \end{array}\right) }[/math] </equation>

Mit einem verkleinerten Betrag im reellen Momentanraum.

 

5. Ermittlung der Transformationsmatrix zwischen R- und L-Zustand im [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math]:
Der Wechsel in den Komplementärraum bewirkt nicht nur eine Spiegelung der Scherung, sondern vertauscht auch die Rolle von Basis und Vektoren. Wie in Artikel 1 [REF] dargelegt, bewirkt der Wechsel des Vorzeichens in der Metrik, dass ko- und kontravariante Objekte die Rollen vertauschen.

Für den konkreten Fall hier bedeutet dies, dass wenn [math]\displaystyle{ \mathbf{v_{phase}^\prime} }[/math] als Zustand (Vektor, kontravariant) aufgefasst wird, die Version im Komplementärraum [math]\displaystyle{ \mathbf{\overset{\smallsmile}{v}{}^\prime_{sp}} }[/math] die Transformationseigenschaften einer Basis (kovariant) annimmt.

Wenn nun die Transformationsmatrix [math]\displaystyle{ \mathbf{R} }[/math] zwischen [math]\displaystyle{ \mathbf{v_{phase}^\prime} }[/math] und dem gespiegelten Zustand [math]\displaystyle{ \mathbf{v}^{\ast\prime} }[/math] betrachtet wird:

<equation id="eqn:Lepton.40" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \mathbf{v}^{\ast\prime} = \mathbf{R} \cdot \frac{\mathbf{v_{phase}^\prime}}{\left|\mathbf{v_{phase}}^\prime\right|} }[/math] </equation>

So ist dies noch nicht die Transformationsmatrix in einen Zustand im komplementären Raum, sondern die Transformationsmatrix zur Basis des Komplementärraumes. Um den komplementären Zustand [math]\displaystyle{ \mathbf{\overset{\smallsmile}{v}{}^\prime_{sp}} }[/math] zu erreichen, gilt das transponierte Transformationsverhalten (Beweis in Artikel 2 [REF]):

<equation id="eqn:Lepton.41" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \mathbf{\overset{\smallsmile}{v}{}^\prime_{sp}} = \mathbf{R^T} \cdot \frac{\mathbf{v_{phase}^\prime}}{\left|\mathbf{v_{phase}^\prime}\right|} }[/math] </equation>

Die Transformationsmatrix [math]\displaystyle{ \mathbf{R} }[/math] findet man nach Standardverfahren als Drehmatrix, und betrachtet deren Transponierte:

<equation id="eqn:Lepton.42" shownumber> [math]\displaystyle{ \mathbf{R^T}=\left(\begin{array}{ccc} 0.799 & 0.571\pm{}0.001 & 0.188\pm{}0.001 \\ -0.178 & 0.523 & -0.834\pm{}0.001 \\ -0.574 & 0.633 & 0.519 \end{array}\right) }[/math] </equation>

Mit [math]\displaystyle{ \mathrm{det} \left(\mathbf{R^T}\right)=1 }[/math]. (gerundet, 3σ-Fehlerintervalle nur für weiterverwendete Glieder berechnet)

 

6. Vergleich der Betragsquadrate mit der PMNS-Matrix:
Zum Vergleich mit experimentellen Resultaten in Form der PMNS-Matrix werden Rotation und Phase zusammengefasst:

<equation id="eqn:Lepton.43" shownumber> [math]\displaystyle{ \left\vert \mathbf{v_{phase}^\prime} \right\vert \cdot \mathbf{\overset{\smallsmile}{v}{}^\prime_{sp}} =\left(\mathbf{R^T} \cdot \mathrm{Re}[\mathbf{R_{phase}}]\right) \cdot \mathbf{v^\prime} }[/math] </equation>

Mit

<equation id="eqn:Lepton.44" shownumber> [math]\displaystyle{ \mathbf{B}=\left(\mathbf{R^T} \cdot \mathrm{Re}[\mathbf{R_{phase}}]\right) =\left(\begin{array}{ccc} 0.799 & 0.571\pm{}0.001 & 0.1504\pm{}0.0007 \\ -0.178 & 0.523 & -0.667\pm{}0.001 \\ -0.574 & 0.633 & 0.416 \end{array}\right) }[/math] </equation>

Andererseits gilt in der üblichen Parametrisierung für die PMNS-Matrix [math]\displaystyle{ \mathbf{U} }[/math]:

<equation id="eqn:Lepton.45" shownumber> [math]\displaystyle{ \mathbf{U} = \left(\begin{array}{ccc} c_{12}c_{13} & s_{12}c_{13} & s_{13}e^{-i\delta{}} \\ {-s}_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta{}} & c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta{}} & s_{23}c_{13} \\ s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta{}} & {-c}_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta{}} & c_{23}c_{13} \end{array}\right) }[/math] </equation>

Wobei [math]\displaystyle{ c_{ij}=\cos\theta_{ij} }[/math] und [math]\displaystyle{ s_{ij}=\sin\theta_{ij} }[/math].

Da die Phase anders eingeführt und im berechneten Fall nur die reelle Komponente berücksichtigt wurde, stimmen die beiden Matrizen nicht direkt überein. Im Betragsquadrat der Einzelelemente fällt die Phase jedoch weg, und die Matrizen werden vergleichbar:

<equation id="eqn:Lepton.46" shownumber> [math]\displaystyle{ \left|b_{ij}\right|^2=\left|u_{ij}\right|^2 }[/math] </equation>

Diese elementweisen Betragsquadrate können ausserdem direkt als Übergangswahrscheinlichkeiten interpretiert werden. Man kann die Neutrino-Mischwinkel nun direkt auslesen:

<equation id="eqn:Lepton.47" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \theta_{13}=\arcsin\left(\sqrt{\left|b_{13}\right|^2}\right)=\arcsin\left(0.1504\right)=8.65(4)^{\circ} }[/math] </equation> <equation id="eqn:Lepton.48" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \theta_{12}=\arcsin\left(\frac{\sqrt{\left|b_{12}\right|^2}}{\cos\theta_{13}}\right)=\arcsin\left(\frac{0.571}{\cos\theta_{13}}\right)=35.28(8)^{\circ} }[/math] </equation> <equation id="eqn:Lepton.49" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \theta_{23}=\arcsin\left(\frac{\sqrt{\left|b_{23}\right|^2}}{\cos\theta_{13}}\right)=\arcsin\left(\frac{0.667}{\cos\theta_{13}}\right)=42.42(8)^{\circ} }[/math] </equation> Angegeben ist das 3σ-Fehlerintervall. Die Fehlerrechnung befindet sich im Anhang.

 

Offene Fragen

Es bleiben unzählige offene Fragen. Praktisch jeder Punkt in diesem Kapitel müsste weiter und genauer untersucht werden. Ebenso die weitergehenden Konsequenzen der vorgestellten These. Einige wenige Themen werden hier kurz angeschnitten:

Struktur der Leptonen, homogene und spurfreie Anteile

• Weitere Folgerungen bezüglich Leptonenzahl-Erhaltung, Flavour-Erhaltung unter der elektromagnetischen Wechselwirkung, Ladungserhaltung, CP-Symmetriebrechung, Interpretation der Händigkeit und des Spins ausarbeiten.
• Erstellung eines Modells für für W- und Z-Bosonen.
• Wie kommt der [math]\displaystyle{ c^2 }[/math]-Faktor in der Energiebetrachtung des Einheitsdefekts im isotropen Raum genau zustande?

Verzerrungs-Eigenzustände als Lepton-Massen

• Ist die Interpretation so korrekt und abgeschlossen? Weitere Konsequenzen?
• Das m4 Teilchen ist nach diesen Ausführungen nicht messbar, sondern verschwindet sowohl als Teilchen als auch bezgl. Wechselwirkungen komplett als Linearkombination der bekannten drei Leptonen.
• Offen ist, ob das Teilchen damit gar nicht existiert, oder ob es sich z.B. durch Terme höherer Ordnung, die bisher weggenähert wurden, dennoch irgendwie bemerkbar machen könnte. Hat es irgendeinen Einfluss? Wäre es mit Masse aber ohne eigene Wechselwirkung ein Kandidat für dunkle Materie?
• Interessant diesbezüglich könnten Resultate sein, die möglicherweise auf eine erhöhte Zerfallshäufigkeit von Mesonen über Tau-Leptonen hinweisen .

Symmetriebrechung und Weinberg-Winkel

• Der berechnete Weinbergwinkel stimmt mit Messungen bei niedrigen kinetischen Energien Q überein (SLAC E158 & APV(Cs)). Diese sind aber nicht besonders präzise.
• Die Daten aus Beschleunigerexperimenten bei hohen kinetischen Energien Q können unter verschiedenen Annahmen auf Q=0 extrapoliert werden (z.B. ), das Resultat stimmt aber nicht exakt. Wie lässt sich dies interpretieren?
• Es sind weitere Niedrigenergieexperimente mit höherer Präzision geplant oder in Ausführung (MOLLER, P2).

Parametrisierung der Scherungen

• Scherungen weiter: Was passiert bei den Extremalstellen?
• Übergang zu finiten Transformationen, krummlinige Koordinaten & gekrümmte Räume.
• Einfluss durch (nicht kommutierende) Terme höherer Ordnung, Betrachtung der Näherungen, ggf. Zusammenhang mit Mechanismen zum Teilchenzerfall.

 

Verweise

 

Anhänge
Anhang 4A: Fehlerrechnung
Anhang 4B: Hyperbolische Hopf-Abbildung

 

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