Elastodynamik von Punktdefekten revisited

Elastizitätstheorie, Punktdefekt, Feldtheorie, lokale Eichfeldtheorie, QFT, QED

Idee: Dieses Kapitel leitet als Resultat eine Bewegungsgleichung für Punktdefekte im elastischen Medium her, im Prinzip unabhängig von der restlichen Arbeit. Benutzt wird diese Bewegungsgleichung jedoch in ihrer vierdimensionalen Form im nächsten Kapitel – interpretiert als Bewegungsgleichung von Leptonen. Diese Anwendung liefert eine Interpretation von mehreren quantenmechanischen Konstanten.

 

In Worten

Punktdefekte sind lokale Deformationen in einem elastischen Gitter.
In dieser Arbeit soll eine einheitliche Beschreibung zur Behandlung eines bewegten Punktdefekts im elastischen Gitter ausgearbeitet werden. Dabei wird das bestehende Modell (z.B. in ) mit moderner Mathematik insbesondere in Form von lokalen Symmetriebetrachtungen erweitert.

Startpunkt ist das Modell eines ruhenden Punktdefekts im Gitter, dessen Beschreibung sukzessive erweitert wird: seine Interaktion mit dem umliegenden Gitter, seiner Bewegung, sowie Effekte, die bei der Einführung des Defekts ins Gitter auftreten. Zum Schluss wird die Behandlung von teilweise ungeordneten Gitterstrukturen behandelt.

Eine kurze Übersicht über die einzelnen Abschnitte:

 

Beschreibung eines Defekts im Gitter

Der Punktdefekt wird als harmonischer Oszillator mit einer leicht geänderter Kraftkonstanten und damit leicht anderer Schwingung als der Rest der Oszillatoren im elastischen Gitter dargestellt.
Dabei wird wie folgt vorgegangen:

1. Schritt: Das elastische Gitter wird ohne Defekt beschrieben, das Modell beinhaltet Massepunkte, welche über Federn gekoppelt sind.
2. Schritt: Durch eine mathematische Operation kann dieses System entkoppelt werden, so dass das elastische Gitter als Ansammlung von unabhängigen harmonischen Oszillatoren beschrieben wird.
3. Schritt: Nun wird als Modell eines isotropen Punktdefekts die Kraftkonstante eines einzelnen Oszillators schrittweise leicht verändert. Dadurch entsteht eine erneute Kopplung des Gesamtsystems.

Schematische Darstellung des Vorgehens zur Einführung eines Defekts:

 

Interaktion des Defekts mit Gitterschwingungen

Da der Defekt klein ist, kann diese erneute Kopplung beschrieben werden, indem zuerst die beiden Schwingungsfelder des Defekts und der ungestörten Umgebung separat behandelt werden. Erst dann wird die Interaktion als Störungsterm eingeführt, welcher die Kopplung des Defekts an das restliche Gitter beschreibt.

Durch die Betrachtung der Kugelsymmetrie des Problems lassen sich einige Annahmen über diese Interaktion machen. Denn aufgrund der Natur von Schwingungen führen nur diejenigen Schwingungsanteile zu Interaktion, welche auch der Symmetrie des Defekts entsprechen. Alle anderen Anteile heben sich in der Summe auf und müssen nicht weiter betrachtet werden. Dadurch vereinfacht sich das Problem erheblich. 

 

Bewegung

Schematische Darstellung des Vakanzmodells und des Potentials (nach ).

Schematische Darstellung des gemittelten Potentials.

In realen Medien wandern Defekte und bewegen sich. Der Einfluss der Bewegung auf das Auslenkungsfeld eines bewegten Defekts wird durch einen Bewegungsterm erfasst. Die Beschreibung erfolgt dabei als Momentaufnahme des Feldes (ähnlich wie Stromlinien in der Strömungsmechanik), was den hier gewählten Ansatz unterscheidet von üblichen Beschreibungen der Defektdynamik, welche eher versuchen, dessen Bewegungslinie entlang einer Zeitachse zu parametrisieren (was der Beschreibung von Bahnlinien in der Strömungsmechanik entspricht).

Da sich die Bewegung eines Defekts über viele Gitterpositionen erstreckt, reicht das Modell des harmonischen Oszillators nicht mehr aus. Stattdessen wird das Vakanzmodell der Diffusion (gelesen in ) an das bisher entwickelte Gleichungssystem angepasst. Dabei wird davon ausgegangen, dass ein Defekt von Gitterlücke zu Gitterlücke springen kann, und dabei ein symmetrisches Potential durchläuft (siehe obere Abbildung rechts).

Wenn diese Wanderung über mehrere Gitterpositionen erfolgt, kann das Potential gemittelt werden. Das entsprechende Potential wird entwickelt und eingeführt (untere Abbildung rechts).

 

Effekte durch intrinsische Generation des Defekts

Defekte können von aussen in ein Medium eingefügt werden. Thermodynamisch entstehen sie aber auch oft intrinsisch im Medium. Der bekannteste intrinsische Defekt in Realkristallen ist der Frenkel-Defekt: Ein Atom besetzt anstelle seiner originalen Position im Gitter eine andere, nicht vorgesehene Position. Dadurch entsteht zusätzlich zum Atom eine leere Gitterposition.

Schematische Darstellung eines Frenkel-Defekts:
Massepunkt an falscher Stelle, dadurch gleichzeitige Entstehung einer Lücke.

 

Beschreibung von mehreren Defekten

Bei der Beschreibung von mehreren Defekten an verschiedenen Orten reicht es nicht mehr, die Symmetrie der Interaktion global zu fordern, sie muss vielmehr an jeder Defektposition separat aufrechterhalten werden. Zusammen mit dem vorherigen Punkt ergibt dies eine komplette Theorie der Interaktion, welche diese als lokales Eichfeld darstellt.

 

Symmetriebrechung

Durch das Gitter wird die Isotropie des Raumes lokal gebrochen.

Man kann sich dies als Phasenübergang vorstellen: In einer Flüssigkeit bewegen sich Teilchen praktisch zufällig durcheinander. Dadurch bilden sie im Mittel eine isotrope Struktur. Beim Phasenübergang (z.B. durch Abkühlung) zu einer festen Phase wird diese Bewegung immer mehr eingefroren und durch fixe Bindungen ersetzt. Dadurch entsteht eine geordnete, kristalline Struktur, die nicht mehr isotrop ist. Die Symmetrie der Isotropie wurde in diesem Phasenübergang gebrochen.

Bei schnellem Abkühlen sind auch nur teilweise geordnete (amorphe) Strukturen möglich, wie sie z.B. in Gläsern vorkommen. Auf grosse Distanz, d.h. gemittelt über mehrere Elementarzellen, ist die Isotropie in solchen amorphen Strukturen durchaus noch gewährleistet, da das Gitter bis zu einem gewissen Grad ungeordnet ist. Die Symmetriebrechung ist also nur lokal.

Mathematisch werden Phasenübergänge mit einem parametrisierten Zusatzpotential dargestellt, wobei der Parameter das Mass des Phasenübergangs – oder eben des Symmetriebruchs – darstellt.

Schematischer Übergang von isotropen Strukturen zu geordneten Kristallgittern:

Durch die Bildung der Gitterstruktur und den Symmetriebruch entstehen einige typische Effekte, die in elastischen Gittern mit endlicher Gitterkonstante beobachtet werden. Insbesondere der Effekt der lokalisierten Schwingungsmoden: Rund um Fehlstellen besitzt das Gitter leicht andere Eigenschaften als in der Umgebung, was die Eigenfrequenzen des Gitters leicht verändert. Es entstehen nun Schwingungsmoden, die sich um den Defekt fortbewegen können, aber nicht im Restgitter. Diese Schwingungen werden exponentiell gedämpft, und in der klassischen Theorie lokale Schwingungsmoden genannt. In der Beschreibung mittels der Symmetriebrechung entspricht dies massiven Schwingungsmoden.    

Mathematisch

Lagrangian des ungestörten Gitters

Wir betrachten das Modell des elastischen Gitters in drei (und vier) Dimensionen mit Wechselwirkungen nur zwischen direkt benachbarten Massepunkten. Ein einzelner Massepunkt an der Gleichgewichtsposition [math]\displaystyle{ \mathbf{m} }[/math] lässt sich durch den folgenden Lagrangian beschreiben:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle L_\mathbf{m}=T_\mathbf{m}-V_\mathbf{m} = \frac{M \, {\mathbf{\dot{u}}^2_\mathbf{m}}}{2} - \left[\Phi_0 + \frac{1}{2}\sum_{Nachb. \, \mathbf{n}} \mathbf{\Phi_{mn}}\left(\mathbf{u_m-u_n}\right)^2 + o(\mathbf{u}^3)\right] }[/math] </equation>

[math]\displaystyle{ \mathbf{u_m} }[/math] bezeichnet die Auslenkung des Massepunkts von der Gleichgewichtsposition [math]\displaystyle{ \mathbf{m} }[/math] im Gitter. [math]\displaystyle{ \mathbf{n} }[/math] summiert über die Gleichgewichtspositionen der benachbarten Gitterpunkte, welche mit Massepunkt [math]\displaystyle{ \mathbf{m} }[/math] wechselwirken. [math]\displaystyle{ M }[/math] bezeichnet die Masse des einzelnen Massepunkts, [math]\displaystyle{ \Phi_0 }[/math] ein allfälliges skalares Grundpotential und [math]\displaystyle{ \mathbf{\Phi_{mn}} }[/math] die Stärke der harmonischen Wechselwirkung zwischen den Massepunkten mit Gleichgewichtspositionen [math]\displaystyle{ \mathbf{n} }[/math] und [math]\displaystyle{ \mathbf{m} }[/math]. Terme höherer Ordnung werden nicht näher betrachtet.

Der Lagrangian des Gesamtgitters lässt sich als die Summe der Einzel-Lagrangians darstellen:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle L=\sum_\mathbf{m} L_\mathbf{m} }[/math] </equation>

Bemerkungen:

• Es wird vorausgesetzt, dass sich die Funktionen gutmütig verhalten. Dann wird [math]\displaystyle{ L_\mathbf{m} }[/math] im Kontinuumslimit zur Lagrangedichte [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] eines Auslenkungsfeldes.
• Dieses Gleichungssystem liefert die Lösungen für die Auslenkungen [math]\displaystyle{ \mathbf{u_m} }[/math] bis auf einen konstanten Normierungsfaktor, da wenn [math]\displaystyle{ \mathbf{u_m} }[/math] eine Lösung ist, auch [math]\displaystyle{ \mathbf{u^\prime_m}=k \cdot \mathbf{u_m} }[/math] das zugehörige Euler-Lagrange-Gleichungssystem löst.

Der Lagrangian eines Einzelpunktes wird nun etwas vorbereitet:

 

Wechsel der Koordinaten

Dieser Lagrangian wird umgeschrieben in zweckmässigere Koordinaten [math]\displaystyle{ \mathbf{v}=\sqrt M \mathbf{u} }[/math]. So dass:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle L_\mathbf{m}= \frac{{\mathbf{\dot{v}}^2_\mathbf{m}}}{2} - \left[\frac{\Phi_0}{M} + \frac{1}{2}\sum_{Nachb. \, \mathbf{n}} \frac{\mathbf{\Phi_{mn}}}{M}(\mathbf{v_m-v_n})^2 + o(\mathbf{u}^3)\right] }[/math] </equation>

 

Statischer Fall

Es wird zunächst nur der statische Fall betrachtet, d.h. der kinetische Term wird null gesetzt:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle L_\mathbf{m}= -V_\mathbf{m} = - \frac{\Phi_0}{M} - \frac{1}{2}\sum_{Nachb. \, \mathbf{n}} \frac{\mathbf{\Phi_{mn}}}{M}(\mathbf{v_m-v_n})^2 - o(\mathbf{u}^3) }[/math] </equation>

 

Tensorielle Notation

Das Abstandsquadrat lässt sich als Ableitung verstehen, wobei die Federkonstante auf das mikroskopische Gitter normiert wird (ausgedrückt mit einer Tilde). Im allgemeinsten Fall können alle Richtungsableitungen zum Lagrangian beitragen, wodurch sich eine tensorielle Notation anbietet:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle L_m=-\frac{{\Phi{}}_0}{M}\ -\frac{a^2{\Phi{}}_{ij}}{2M}\ {\partial{}}_iv_j{\partial{}}^iv^j\ -o\left(\mathbf{v}^3\right)\ \ =-{\overset{\sim}{\Phi{}}}_0\ -\frac{1}{2}{\overset{\sim}{\Phi{}}}_{ij}\ {\partial{}}_iv_j{\partial{}}^iv^j\ -o\left(\mathbf{v}^3\right)\ \ =-{\overset{\sim}{\Phi{}}}_0\ -\frac{1}{2}{\overset{\sim}{\Phi{}}}_{ij}\ V_{ij}V^{ij} }[/math] </equation>

Mit [math]\displaystyle{ a }[/math] dem Abstand zwischen zwei Massepunkten im Gitter in der Gleichgewichtsposition und den Komponenten [math]\displaystyle{ \partial_{m_j-n_j}v_j \approx \frac{(v_{m_j}-v_{n_j})}{a} }[/math], ausgedrückt als [math]\displaystyle{ \partial_iv_j \approx \frac{(v_{m_j}-v_{m_j-i})}{a} }[/math] wobei [math]\displaystyle{ i=m_j-n_j }[/math] die [math]\displaystyle{ j }[/math]-e Komponente des Abstands zwischen den Massepunkten mit Gleichgewichtspositionen [math]\displaystyle{ \mathbf{m} }[/math] und [math]\displaystyle{ \mathbf{n} }[/math] bezeichnet.

 

Entkopplung der Oszillatoren

Da es sich um ein harmonisches System handelt, lassen sich die einzelnen Oszillatoren des Gitters durch eine geeignete Koordinatentransformation entkoppeln:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle L_m=\ -{\overset{\sim}{\Phi{}}}_0\ -\frac{1}{2}{\mathbf{\overset{\sim}{\Phi}_m}}\ {\left(\mathbf{w_m}\right)}^2 -o\left(\mathbf{w}^3\right) }[/math] </equation>

Und man erhält ein Gleichungssystem von einzelnen, unabhängigen Oszillatoren.

Diese Entkopplung gilt allerdings nur im ungestörten Fall, und wird zerstört, wenn Defekte vorhanden sind. Im Fall eines isotropen Gitters verschwindet zusätzlich die Richtungsabhängigkeit der Kopplung:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle L_m=\ -{\overset{\sim}{\Phi{}}}_0\ -\frac{1}{2}{{\overset{\sim}{\Phi}}}\ {\left(\mathbf{w_m}\right)}^2 -o\left(\mathbf{w}^3\right) }[/math] </equation>

 

Isotrope Punktdefekte

Einführung eines kleinen, isotropen Defekts

Startpunkt ist das entkoppelte elastische Gitter. In der Vorstellung führen wir nun einen einzelnen isotropen Defekt ein, indem wir eine einzelne Federkonstante verändern. Dabei starten wir bei der Konstante des ungestörten Gitters und verändern diese Stück für Stück um einen sehr kleinen Betrag.

Durch die Änderung geht die Entkopplung der übrigen Oszillatoren Stück für Stück verloren. Es ist plausibel, anzunehmen, dass die nach und nach entstehende Kopplung als kleine Störung der entkoppelten Lagrangians behandelt werden kann. D.h. der Lagrangian des Gesamtsystems lässt sich separieren in einen Lagrangian des Defekts, einen Lagrangian des Restgitters und einen Term, welcher die Interaktion/ Kopplung zwischen diesen beiden beschreibt:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ L_\mathbf{m}=L_{\mathbf{m},\ Defekt}+L_{\mathbf{m},\ Gitter}+L_{\mathbf{m},\ WW\ Def.\leftrightarrow{}Gitter} }[/math] </equation>

Die einzelnen Terme werden nun etwas genauer betrachtet:

 

Lagrangian des Defekts

Der Lagrangian des Defekts an der Stelle [math]\displaystyle{ {\alpha} }[/math] lässt sich gemäss dieser Konstruktion wie folgt ausdrücken:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle L_{\mathbf{m=\alpha},\ Defekt}=-V=-\frac{\overset{\sim}{\Phi}\xi}{2}\ {\left(\mathbf{w_\alpha}\right)}^2 }[/math] </equation>

Zusammen mit der Federkonstante des ungestörten Gitters ergibt dies einen harmonischen Oszillator mit leicht geänderter Federkonstante [math]\displaystyle{ {\overset{\sim}{\Phi}}^\prime=\overset{\sim}{\Phi}(1+\xi) }[/math], wobei [math]\displaystyle{ \xi=\frac{{\overset{\sim}{\Phi}}^\prime-\overset{\sim}{\Phi}}{\overset{\sim}{\Phi}} }[/math] die relative Defektstärke beschreibt, wenn das Auslenkungsfeld durch den Defekt normiert wird auf [math]\displaystyle{ \int{\mathbf{w_\alpha^\dagger w_\alpha}}\ dV=1 }[/math]. Im Folgenden wird mit dem relativen Lagrangian weitergearbeitet:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle L_{\mathbf{m=\alpha},\ Defekt,rel.}=-V=-\frac{\xi}{2}\ {\left(\mathbf{w_\alpha}\right)}^2 }[/math] </equation>

Wobei die entsprechende Normierung durch angepasste Federkonstanten berücksichtigt wird (relative Federkonstante: mit Doppeltilde markiert), für eine beliebige Federkonstante [math]\displaystyle{ \overset{\sim}{X} }[/math]:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle \overset{\approx}{X}=\frac{\overset{\sim}{X}}{\overset{\sim}{\Phi{}}} }[/math] </equation>

 

Lagrangian des Gitters

Der Lagrangian des Gitters lässt sich im Allgemeinen nun nicht mehr entkoppelt darstellen, er nimmt also die folgende Grundform an:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ L_{\mathbf{m},\ Gitter}=-\overset{\approx}{\Phi}_0\ -{\overset{\approx}{\Phi}}_{ij}\ V_{ij}V^{ij} }[/math] </equation>

Dabei wurde angenommen, dass die adjungierten (konjugiert komplexen) Felder unabhängig voneinander sind, wodurch der ursprüngliche Faktor ½ wegfällt, damit die zugehörige Bewegungsgleichung gleichbleibt.

Aufgrund von Symmetrieüberlegungen lassen sich einige Annahmen über die innere Struktur der mit dem Defekt wechselwirkenden Anteile machen:

• Es führen nur diejenigen Schwingungsanteile zu einer Wechselwirkung, welche der Symmetrie des Defekts entsprechen. Andere Anteile heben sich in der Summe auf.
• Der Defekt ist isotrop und sein Lagrangian ist proportional zur Deformation im Quadrat, er besitzt also eine Symmetrie in der Phase und eine Kugelsymmetrie.
• Damit die Beschreibung für Defekte an beliebigem Ort und insbesondere für Konfigurationen mit mehreren Defekten geeignet ist, muss die Symmetrie des Lagrangians lokal wählbar sein.
• Da es sich um isotrope Komponenten handelt, verschwindet die Richtungsabhängigkeit der Kraftkonstante, was das Problem erheblich reduziert. Zusätzlich kann als Kraftkonstante das Kompressionsmodul (z.B. ) des Gitters angenommen werden. Also insgesamt für die Kraftkonstante:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ {\overset{\approx}{\Phi}}_{ij}=\overset{\approx}{\Phi}=\overset{\approx}{K} }[/math] </equation>

Diese Überlegungen führen zu der Forderung, dass der Lagrangian des Restgitters symmetrisch ist (invariant bleibt) unter lokalen Transformationen der Symmetriegruppe [math]\displaystyle{ U(1) }[/math] für die Phase und [math]\displaystyle{ SO(3) }[/math] für die Isotropie in drei Dimensionen, also zusammen [math]\displaystyle{ U(1)\times SO(3) }[/math]. In vier Dimensionen ist die relevante Symmetriegruppe [math]\displaystyle{ U(1)\times SU(2) }[/math].

Insgesamt lässt sich damit der allgemeine Lagrangian aufteilen in einzelne Terme, die den geforderten Symmetrien entsprechen:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle L_{m,\ Gitter}=-{\overset{\approx}{\Phi}}_0\ -{\left[\overset{\approx}{K}\cdot V_{ij}V^{ij}\right]}_{U(1)}-{\left[\sum_{a=1,2,3}\overset{\approx}{K}\cdot{V^a}_{ij}{V^a}^{ij}\right]}_{SO(3)} }[/math] </equation>

 

Lagrangian der Wechselwirkung – statisch

Wechselwirkungen entstehen im elastischen Gitter durch Schwingungen und Bewegungen. Im statischen Fall verschwindet deshalb der Wechselwirkungsterm:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ L_{\mathbf{m},\ WW\ Def.\leftrightarrow{}Gitter}=0 }[/math] </equation>

Bemerkungen zur Symmetrie:
Im statischen Fall erfüllen sowohl der Lagrangian des Defekts als auch derjenige des Restgitters die Symmetriebedingung. Dadurch ist der Gesamt-Lagrangian ebenfalls invariant unter diesen Symmetrieoperationen.

Gerichtete Bewegung des Defekts zerstört jedoch zwangsläufig diese Symmetrie. Aufgrund der Impulserhaltung muss deshalb die Wechselwirkung gerade so gross sein, dass sie die ursprüngliche Symmetrie wiederherstellt.

Unter Berücksichtigung dieser Vorüberlegung wird nun die Bewegung des Defekts modelliert, um danach den Wechselwirkungsterm im dynamischen Fall zu konstruieren.

 

Bewegung des Defekts

Im Modell des elastischen Gitters ist keine grössere Bewegung eines Defekts möglich. In realen Materialien ist Bewegung im Sinne einer Diffusion von Defekten aber normal. Da in einem elastischen Gitter dazu auf jeden Fall (Feder-)Bindungen gebrochen werden müssen, ist dieses Modell nicht geeignet zur Veranschaulichung des Diffusionsmechanismus. Eine bessere Vorstellung dazu liefert das Vakanz-Modell, bei welchem die Potentiale als Kugeln dargestellt werden. Eine einzelne Kugel kann sich von Gitterlücke zu Gitterlücke zwischen zwei anderen Kugeln hindurchbewegen, wobei sie ein symmetrisches Potential durchläuft (z.B. , gelesen in ).

Wenn die Gitterkonstante sehr klein wird und sich die Bewegung über mehrere Gitterpositionen erstreckt, kann das Potential gemittelt und als konstant angenommen werden:

Schematische Darstellung des Vakanzmodells und des Potentials (nach ).

Schematische Darstellung des gemittelten Potentials.

Da es sich um eine gerichtete Bewegung handelt, ist die Kraftkonstante, welche für die Bewegung nötig ist, durch das Longitudinal-Modul [math]\displaystyle{ \overset{\approx}{M} }[/math] des elastischen Mediums gegeben.

Anschaulich kann die Bewegung von Gitterlücke zu Gitterlücke so ausgedrückt werden, dass die Auslenkungen um eine Position verschoben werden, also die Auslenkung an Stelle [math]\displaystyle{ \mathbf{m} }[/math] durch die Auslenkung an einer benachbarten Position [math]\displaystyle{ \mathbf{n} }[/math] ersetzt wird:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ \mathbf{w_m^\prime}=\mathbf{w_m} + (\mathbf{w_n} - \mathbf{w_m}) }[/math] </equation>

Diese Transformation kann als diskrete Ableitung verstanden werden, und beim Übergang zum durchschnittlichen Potential wird diese durch die entsprechende Richtungsableitung ersetzt:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ \mathbf{w_m^\prime}=\mathbf{w_m}+\left(\mathbf{w_n}-\mathbf{w_m}\right) \approx \mathbf{w_m}-a \, \mathbf{∂}_{(\mathbf{m-n})}\mathbf{w_m} =\left(1-a\cdot 1\cdot \mathbf{∂} \right)\mathbf{w_m} }[/math] </equation>

Mit der Änderung des Auslenkungsfeldes:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ \mathbf{dw_m}=\mathbf{w_m^\prime}-\mathbf{w_m} = -a \cdot 1\cdot \mathbf{∂ w_m} }[/math] </equation>

Im Lagrangian wirkt die Bewegung auf das Auslenkungsquadrat, welches analog wie folgt entwickelt werden kann:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ {\left(\mathbf{w_m^{\dagger}w_m}\right)}^\prime = \left(\mathbf{w_m^{\dagger} w_m}\right) - a\left(\mathbf{{∂}_{(m-n)}w_m^{\dagger}}\right)\mathbf{w_m} - a\ \mathbf{w_m^{\dagger}}\left(\mathbf{{∂}_{(m-n)}w_m}\right)+… \approx \mathbf{w_m^{\dagger}}\left(1-a\cdot 1\cdot \mathbf{\overleftrightarrow{∂}}\right)\mathbf{w_m} }[/math] </equation>

Wobei die mit dem Doppelpfeil markierte Ableitung einmal nach links und einmal nach rechts wirkt.

Umgestellt ergibt dies wiederum die Änderung des Auslenkungsfeldes im Quadrat:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ \mathbf{d}\left(\mathbf{{w_m}^2}\right)={\left(\mathbf{w_m^{\dagger}w_m}\right)}^\prime-\left(\mathbf{w_m^{\dagger}w_m}\right) =-\mathbf{w_m^{\dagger}}\left(a\cdot 1\cdot \mathbf{\overleftrightarrow{∂}}\right)\mathbf{w_m} }[/math] </equation>

Allgemein ist die komplette Bewegung durch die Erzeugenden der Bewegung mal dem Longitudinal-Modul gegeben. Die Erzeugenden der Bewegung sind Operatoren der Form [math]\displaystyle{ \mathbf{M\cdot ∂} }[/math], mit [math]\displaystyle{ \mathbf{∂} }[/math] den Richtungsableitungen und [math]\displaystyle{ \mathbf{M} }[/math] einem Set von Matrizen welche die folgenden Eigenschaften erfüllen:

1. Es gibt für jede Dimension einen linear unabhängigen Operator.
2. Sie sind normiert und damit längenerhaltend.
3. Sie besitzen reelle Eigenwerte (=hermitesch), womit der Impuls observabel ist.

Im einfachen Fall eines einzelnen Defekts, der sich im Raum bewegt, kann die Matrix [math]\displaystyle{ \mathbf{M} }[/math] durch einen Skalar ([math]\displaystyle{ \mathbf{M}=1 }[/math]) ersetzt und als Ableitungen die kartesischen Richtungsableitungen [math]\displaystyle{ \mathbf{∂}=\left({\partial_x,\partial_y,\partial_z}\right) }[/math] gewählt werden.

Zusammenfassend lautet der Lagrangian damit:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle L_{\mathbf{m},\ Defekt,rel.} = \mathbf{w_\alpha^\dagger} \left(-\frac{\xi}{2}+\overset{\approx}{M}\cdot 1\cdot \mathbf{\overleftrightarrow{∂}}\right) \mathbf{w_\alpha} }[/math] </equation>

Dieser Lagrangian kann etwas vereinfacht werden, wenn [math]\displaystyle{ \mathbf{w_\alpha^\dagger} }[/math] und [math]\displaystyle{ \mathbf{w_\alpha} }[/math] als unabhängige Felder betrachtet werden. Der alternative Lagrangian

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle L_{\mathbf{m},\ Defekt,rel.} = \mathbf{w_\alpha^\dagger} \left(-\xi+2\overset{\approx}{M}\cdot 1\cdot \mathbf{\overleftrightarrow{∂}}\right) \mathbf{w_\alpha} }[/math] </equation>

Führt zu denselben Bewegungsgleichungen unter der Annahme, dass das Auslenkungsfeld und sein adjungierter (konjugiert komplexer) Konterpart unabhängige Felder sind, und ist etwas einfacher in der Handhabung.

 

Lagrangian der Wechselwirkung - dynamisch

Die gerichtete Bewegung des Defekts zerstört die Symmetrie des statischen Lagrangian. Aufgrund der Impulserhaltung muss deshalb die Wechselwirkung gerade so gross sein, dass sie die ursprüngliche Symmetrie wiederherstellt. Damit bleibt der Gesamt-Lagrangian invariant unter den ursprünglichen Symmetrie-Operationen.

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle L_{\mathbf{m},\ WW\ Def.\leftrightarrow{}Gitter} = -\mathbf{w_\alpha}^\dagger \left({\left[3\overset{\approx}{K}\cdot M^j v_j\right]}_{U(1)} +{\left[\sum_{a=1,2,3} 3\overset{\approx}{K}\cdot M^j{R_a v^a}_j\right]}_{SO(3)}\right)\mathbf{w_\alpha} }[/math] </equation>

Wobei [math]\displaystyle{ M^j }[/math] die Komponenten der Erzeugenden der Bewegung und [math]\displaystyle{ R_a }[/math] die Erzeugenden der Gruppe [math]\displaystyle{ SO(3) }[/math] (respektive [math]\displaystyle{ SU(2) }[/math] in vier Dimensionen) bezeichnen.  

 

Intrinsische Defekte

Frenkel-Defekt (schematisch):
Massepunkt an falscher Stelle, dadurch gleichzeitige Entstehung einer Lücke.

Bei der Einführung eines Defekts von ausserhalb des Mediums wird diesem Masse und Energie zugeführt. Diese Energie entspricht der Grundenergie des Defekts.

Entsteht der Defekt intrinsisch, also rein im inneren des Mediums, muss die Masse erhalten bleiben. Durch eine Falschpositionierung eines Massepunktes entsteht z.B. an einem Ort eine Überbesetzung, und an einem anderen Ort eine Lücke (Frenkel-Defekt):

Interessant ist dabei die Energieerhaltung: Ohne Berücksichtigung statistischer Effekte, muss zur Einführung eines Frenkel-Defekts im entspannten elastischen Gitter für beide Seiten Energie aufgewendet werden, da sich vorgängig alle Massepunkte in der energetisch günstigsten Position befinden. In einem Gleichungssystem, welches beide Seiten des Defekts miteinander behandelt werden, sieht die Grundenergie wie folgt aus:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle L_{\mathbf{m},\ Defekt,rel.} = -\mathbf{W_{\alpha}^\dagger} \left(\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \xi \right) \mathbf{W_\alpha} }[/math] </equation>

Wobei hier die Auslenkungsfunktion [math]\displaystyle{ \mathbf{U_\alpha} }[/math] erweitert wurde, so dass sie sich in die zwei Teildefekte (Lücke und Zusatzmasse) aufteilen lässt, welche jeweils einem dreidimensionalen Auslenkungsfeld entsprechen:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ \mathbf{W_\alpha}=\left(\begin{array}{cc} \mathbf{w_1} \\ \mathbf{w_2} \end{array}\right) }[/math] </equation>

In einem Medium, welches sich vorgängig nicht im Gleichgewichtszustand, sondern in einem uniform angespannten Zustand befindet, wird durch den einen Defekt Energie freigesetzt, währenddem nur der andere Energie verbraucht. In einem idealen Modell kann davon ausgegangen werden, dass die Gesamtenergie des Systems erhalten bleibt:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ L_{\mathbf{m},\ Defekt,rel.} = \mathbf{\overline{W}_\alpha}\xi{}\mathbf{W_\alpha} \quad }[/math] wobei [math]\displaystyle{ \quad \mathbf{\overline{W}_\alpha} = \mathbf{W_\alpha^\dagger} \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) }[/math] sowie [math]\displaystyle{ \quad \int{\mathbf{w_1^\dagger w_1}}\ dV = 1 \qquad }[/math]und [math]\displaystyle{ \quad \int{\mathbf{w_2^\dagger w_2}}\ dV = 1 }[/math] </equation>

Interessant ist nun die Bewegung in diesem System ohne äussere Einflüsse. Um zu berücksichtigen, dass der Impuls für das Gesamtsystem erhalten bleiben muss, ist das gemeinsame Gleichungssystem besonders geeignet.

Die Bewegung wird nach demselben Prinzip wie vorgängig eingeführt, wobei aber für die Operatoren zur Generation der Bewegung gefordert wird, dass diese spurfrei sein müssen, damit der Gesamtimpuls null bleibt. Die Eigenschaften der Erzeugenden der Bewegung für dieses System sind damit:

1. Es gibt für jede Dimension einen linear unabhängigen Operator.
2. Sie sind pro Teildefekt normiert und damit längenerhaltend.
3. Sie besitzen reelle Eigenwerte (=hermitesch) und der Impuls ist eine Observable.
4. Sie sind insgesamt spurfrei und damit impulserhaltend.

Diese Eigenschaften können in drei Dimensionen durch Operatoren, welche mit den Pauli-Matrizen [math]\displaystyle{ \sigma^j }[/math] konstruiert werden, erreicht werden:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ L_{\mathbf{m},\ Defekt,rel.} = \mathbf{\overline{W}_\alpha} \left( -\xi + 2\overset{\approx}{M} \cdot \sigma^j \cdot \partial_j\right)\mathbf{W_\alpha} }[/math] </equation>

Wobei [math]\displaystyle{ \sigma^1=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) }[/math], [math]\displaystyle{ \sigma^2=\left(\begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array}\right) }[/math] und [math]\displaystyle{ \sigma^3=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) }[/math].

Diese Wahl der Pauli-Matrizen passt auf ein Defektpaar, welches sich auf der z-Achse trennt. Man sieht, dass sich bei Bewegung in x und y Richtung die Deformationsfelder mischen, jedoch nicht bei Bewegung in z-Richtung.

In vier Dimensionen ist im Vergleich dazu ein Set von vier linear unabhängigen, normierten Operatoren gesucht, die spurfrei und observabel sind. Im Fall eines flachen Beobachters sind damit drei dieser Operatoren hermitesch und einer anti-hermitesch (wegen dem negativen Metrikelement). Diese Bedingungen werden durch die Dirac-Matrizen [math]\displaystyle{ \gamma^j }[/math] multipliziert mit [math]\displaystyle{ i }[/math] erfüllt:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ L_{\mathbf{m},\ Defekt,rel.} = \mathbf{\overline{W}_\alpha} \left( -\xi + 2\overset{\approx}{M} \cdot i \cdot \gamma^j \cdot \partial_j\right)\mathbf{W_\alpha} }[/math] </equation>

Wobei z.B. [math]\displaystyle{ \gamma^0=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) }[/math], [math]\displaystyle{ \gamma^j=\left(\begin{array}{cc} 0 & \sigma^j \\ -\sigma^j & 0 \end{array}\right) }[/math] (jeder Eintrag steht in dieser Notation für eine 2x2-Matrix, [math]\displaystyle{ j=1,2,3 }[/math]).

 

Symmetriebrechung

In den bisherigen Überlegungen wurde von einem isotropen Gitter ausgegangen. Diese Anschauung lässt sich jedoch zumindest lokal nicht mit einem elastischen Gitter mit endlicher Grösse der Elementarzellen vereinbaren. In einer geordneten Kristallstruktur wäre die Isotropie des Gitters sogar global nicht vorhanden. Für ungeordnete Gitter, welche im Mittel eine Isotrope Struktur bilden, wird die Isotropie lokal auf jeden Fall gebrochen. Das Konzept der Symmetriebrechung wird in der Physik für Phasenübergänge verwendet. In diesem Sinne kann das Konzept angewendet werden, indem das Mass der Brechung der lokalen Isotropie (lokale [math]\displaystyle{ SO(3) }[/math]-Symmetrie in drei Dimensionen und lokale [math]\displaystyle{ SU(2) }[/math]-Symmetrie in vier Dimensionen) parametrisiert wird.

Mathematisch ist die Symmetriebrechung komplex, das Vorgehen soll hier nicht näher betrachtet werden (siehe dazu z.B. , gelesen in , urspr. ). Vielmehr soll eine kurze grundsätzliche Übersicht über Vorgehen und Effekte gegeben werden.

Vorgehen:
Es wird ein zusätzliches Potential eingeführt, welches die Symmetrie bricht, danach wird aus den möglichen gebrochenen Lösungen eine sinnvolle ausgewählt, um welche dann der Lagrangian entwickelt wird.

Als Resultat erhält man ein neues skalares Feld [math]\displaystyle{ H }[/math], welches mit sich selber und den Schwingungen interagiert. Dazu kommen weitere Eigenwechselwirkungen der Schwingungsmoden.

Effekte:
Ein Hauptresultat der Symmetriebrechung ist es jedoch, dass sogenannte massive Schwingungsmoden entstehen. Diese sind exponentiell gedämpft und breiten sich damit nur in unmittelbarer Umgebung der Defekte aus . In der klassischen Beschreibung des elastischen Gitters mit Defekt dürften diese Moden gerade den lokalisierten Moden entsprechen, welche ebenfalls exponentiell gedämpft sind.

Zusätzlich treten Effekte der Chiralität auf, die Effekte treten nur bei bestimmten Defektarten auf. Dies entspricht in der klassischen Beschreibung sehr wahrscheinlich der Unterscheidung zwischen Defekten mit Defektstärke grösser oder kleiner null, wobei die lokalisierten Schwingungsmoden nur bei [math]\displaystyle{ \xi\lt 0 }[/math] auftreten.

Die Effekte sehen also in beiden Beschreibungen sehr ähnlich aus, wobei eine genaue Übereinstimmung noch zu zeigen wäre.

Die mathematischen Terme sind bis auf Eigenwechselwirkungen im Folgenden zusammengestellt.

Der Gesamt-Lagrangian lautet zusammenfassend für einen Frenkel-Defekt:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ L_\mathbf{m}=L_{\mathbf{m},\ Defekt,rel.} + \ L_{\mathbf{m},\ WW\ Def.\leftrightarrow{}Gitter} + L_{\mathbf{m},\ Gitter} + L_{\mathbf{m},\ Symmetriebruch} + L_{\mathbf{m},\ WW-Sym.bruch} }[/math] </equation>

Wobei in drei Dimensionen:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ L_{\mathbf{m},\ Defekt,rel.} = \mathbf{\overline{W}_\alpha} \left( -\xi + 2 \overset{\approx}{M} \cdot \sigma^j \cdot \partial_j \right) \mathbf{W_\alpha} }[/math] </equation>

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle L_{\mathbf{m},\ WW\ Def.\leftrightarrow{}Gitter} = - \mathbf{\overline{W}_\alpha} \left( {\left[ 3 \overset{\approx}{K} \cdot \sigma^j v_j \right]}_{U(1)} + {\left[ \sum_{a=1,2,3} 3\overset{\approx}{K}_a^\prime \cdot \sigma^j {R_a v^a}_j \right]}_{SO(3)} \right) \mathbf{W_\alpha} }[/math] </equation>

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle L_{\mathbf{m},\ Gitter} = - \overset{\approx}{\Phi}_0 \ - {\left[ \overset{\approx}{K} \cdot V_{ij} V^{ij} \right]}_{U(1)} - {\left[ \sum_{a=1,2,3} \overset{\approx}{K}_a^\prime \cdot V^{\prime a}_{ij} {V^{\prime a}}^{ij} \right]}_{SO(3)} }[/math] </equation>

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ L_{\mathbf{m},\ Symmetriebruch} = - \frac{1}{2} m_H^2 H^2 + \frac{1}{2} (\partial_i H)(\partial^i H) }[/math] </equation>

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ L_{\mathbf{m},\ WW-Sym.bruch} = o(H^3, \mathbf{v}^3) }[/math] </equation>

Und in vier Dimensionen mit flachem Beobachter:

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ L_{\mathbf{m},\ Defekt,rel.} = \mathbf{\overline{W}_\alpha} \left( -\xi + 2 \overset{\approx}{M} \cdot i \cdot \gamma^j \cdot \partial_j \right) \mathbf{W_\alpha} }[/math] </equation>

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle L_{\mathbf{m},\ WW\ Def.\leftrightarrow{}Gitter} = - \mathbf{\overline{W}_\alpha} \left( {\left[ 4 \overset{\approx}{K} \cdot \gamma^j v_j \right]}_{U(1)} + {\left[ \sum_{a=1,2,3} 4\overset{\approx}{K}_a^\prime \cdot \gamma^j {\sigma_a v^a}_j \right]}_{SU(2)} \right) \mathbf{W_\alpha} }[/math] </equation>

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ \displaystyle L_{\mathbf{m},\ Gitter} = - \overset{\approx}{\Phi}_0 \ - {\left[ \overset{\approx}{K} \cdot V_{ij} V^{ij} \right]}_{U(1)} - {\left[ \sum_{a=1,2,3} \overset{\approx}{K}_a^\prime \cdot V^{\prime a}_{ij} {V^{\prime a}}^{ij} \right]}_{SU(2)} }[/math] </equation>

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ L_{\mathbf{m},\ Symmetriebruch} = - \frac{1}{2} m_H^2 H^2 + \frac{1}{2} (\partial_i H)(\partial^i H) }[/math] </equation>

<equation id="eqn:su3.01" shownumber> [math]\displaystyle{ L_{\mathbf{m},\ WW-Sym.bruch} = o(H^3, \mathbf{v}^3) }[/math] </equation>

 

Offene Fragen

Der vorgelegte Text skizziert ein Verfahren zur Beschreibung von kleinen Defekten im elastischen Gitter. Insbesondere werden Möglichkeiten zur inklusiven Beschreibung von Bewegung sowie die Vorteile der Beschreibung von Wechselwirkungen mittels lokaler Eichtheorien aufgezeigt. Trotzdem bleiben in allen vorgestellten Bereichen zahlreiche Fragen offen, die in weiteren Arbeiten vertieft werden müssen. Einige sind hier zusammengestellt:

Gitter:

• Welche Effekte entstehen durch die detaillierte Gitterstruktur, z.B. durch hexagonale oder kubisch flächenzentrierte Gitter, oder durch Gitter mit mehreren verschiedenen Massen?
• Wie sieht der Übergang zur makroskopischen Beschreibung (Kontinuumslimit) im Detail aus?
• Gibt es weitere Effekte durch externe Spannungen/ gekrümmte Gitter?

Defekt:

• Gibt es experimentelle Verifizierungsmöglichkeiten für die vorgestellten Mechanismen?
• Es wurden einfache Punktdefekte angeschaut. Im Gitter sind jedoch auch Liniendefekte (Dislokationen) möglich. Wie sieht die Behandlung solcher Defekte im Rahmen der vorgestellten Theorie aus?

Bewegung:

• Ist die Beschreibung des Bewegungsmechanismus korrekt?
• Ist es korrekt, dass das Potential der Bewegung nicht von der Defektstärke abhängt? Wie sieht dazu die detaillierte Erklärung aus?

Symmetriebrechung:

• Wie ist der genaue Zusammenhang zwischen lokaler Symmetriebrechung und den lokalisierten Moden im traditionellen Modell des linearen Gitters?
• Wie sieht es mit Abschnitteffekten und Chiralität aus?

 

Verweise

 

<- Kapitel 1

Zurück zum Seitenanfang

Kapitel 3 ->

---

---

Dieses Werk ist lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International Lizenz.