QFT, QED, Allgemeine Relativität, elastisch, Materialgesetz, GUT, Gravitation, Wechselwirkungen

Untersucht werden die Transformationseigenschaften der Komponenten des Materialgesetzes unter Inversion des Vorzeichens $[S1]$ , welches wie folgt definiert ist^[1]:

$g_{\mu \nu }=[S1]\cdot \mathrm {diag} (-1,+1,+1,+1)$

Transformierte Grössen werden mit einem Akzent gezeichnet. Für die Metrik gilt also

${\overset {\smile }{g}}_{\mu \nu }=-{g}_{\mu \nu }$

Christoffelsymbole unter Vorzeicheninversion der Metrik
Die Christoffelsymbole 2. Art

$\displaystyle \Gamma _{\ \ ij}^{k}={\frac {1}{2}}g^{kl}(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij})={\overset {\smile }{\Gamma }}_{\ \ ij}^{k}$

sind unabhängig von der Wahl des Vorzeichens $[S1]$ , da das Vorzeichen sowohl in $g_{\mu \nu }$ als auch in $g^{\mu \nu }$ wechselt, und die partielle Ableitung unter Vorzeichenwechsel der Metrik wie folgt transformiert:

$\partial _{\mu }\left(-g_{\mu \nu }\right)=-\partial _{\mu }\left(g_{\mu \nu }\right)$

Dadurch heben sich die Vorzeichen gegenseitig auf.

Riemann-Tensor unter Vorzeicheninversion der Metrik
Dadurch ist auch der Riemann-Tensor unabhängig von $[S1]$ , kann jedoch unabhängig davon mit positivem oder negativem Vorzeichen $[S2]$ definiert werden:

$R_{\ \ ikp}^{m}=[S2]\cdot \left(\partial _{k}\Gamma _{\ \ ip}^{m}-\partial _{p}\Gamma _{\ \ ik}^{m}+\Gamma _{\ \ ip}^{a}\Gamma _{\ \ ak}^{m}-\Gamma _{\ \ ik}^{a}\Gamma _{\ \ ap}^{m}\right)={\overset {\smile }{R}}_{\ \ ikp}^{m}$

Ricci-Tensor unter Vorzeicheninversion der Metrik
Auch der Ricci-Tensor ändert damit sein Vorzeichen nicht bei Änderung von $[S1]$ . Sein Vorzeichen ist aber abhängig von der Definition des Riemann-Tensors und des Materialgesetzes:

$R_{\mu \nu }=[S2]\cdot [S3]\cdot R_{\ \ \mu \lambda \nu }^{\lambda }={\overset {\smile }{R}}_{\mu \nu }$

Ricci-Skalar unter Vorzeicheninversion der Metrik
Jedoch der Ricci-Skalar, welcher direkt über die Metrik definiert ist, ändert sein Vorzeichen abhängig von $[S1]$ :

$R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }=[S1]\cdot \mathrm {diag} (-1,+1,+1,+1)\cdot [S2]\cdot [S3]\cdot R_{\ \ \mu \lambda \nu }^{\lambda }=-{\overset {\smile }{g}}^{\mu \nu }{\overset {\smile }{R}}_{\mu \nu }=-{\overset {\smile }{R}}$

Einstein-Tensor unter Vorzeicheninversion der Metrik
Der spurinvertierte Ricci-Tensor (Einstein-Tensor) bleibt damit erhalten unter Änderung von $[S1]$ :

$\displaystyle \varepsilon _{ij}=R_{ij}-{\frac {1}{2}}Rg_{ij}={\overset {\smile }{R}}_{ij}-{\frac {1}{2}}{\overset {\smile }{R}}{\overset {\smile }{g}}_{ij}={\overset {\smile }{\varepsilon }}_{ij}$

Aber:

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \mathrm{tr}(\mathbf{\overset{\smile}{ε}}) = \overset{\smile}{g}^{ab}\overset{\smile}{\varepsilon}_{ab} = - g^{ab}\overset{\smile}{\varepsilon}_{ab} = - g^{ab}\varepsilon_{ab} = - \mathrm{tr}(\mathbf{ε}) }

Spannungs-Tensor unter Vorzeicheninversion der Metrik
Der Spannungstensor ist konstruiert als dyadischer Tensor aus zwei Vektoren, dessen beide Indizes auf kovariant gestellt werden. Beim Wechsel des Vorzeichens der Metrik $[S1]$ wechseln beide Vektoren aus der Konstruktion das Vorzeichen, womit sich deren Vorzeichen-Änderungen aufheben. Damit bleibt der Spannungstenor unter Änderung von $[S1]$ konstant:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{\overset{\smile}{σ}} = \mathbf{σ} }

Spur des Spannungs-Tensors unter Vorzeicheninversion der Metrik
Die Spur eines zweifach kovarianten Tensors wechselt das Vorzeichen unter Vorzeichenwechsel der Metrik, wenn der Tensor unter Vorzeichenwechsel der Metrik invariant bleibt:

$\mathrm {tr} (\mathbf {\overset {\smile }{A}} )={\overset {\smile }{g}}^{ab}{\overset {\smile }{A}}_{ab}={\overset {\smile }{g}}^{ab}A_{ab}=-g^{ab}A_{ab}=-\mathrm {tr} (\mathbf {A} )$

Dies gilt also auch für die Spur des Spannungs-Tensors.

Für die Spur der Metrik gilt jedoch in vier Dimensionen immer:

$\mathrm {tr} (\mathbf {\overset {\smile }{g}} )={\overset {\smile }{g}}^{ab}{\overset {\smile }{g}}_{ab}=[S1]\cdot [S1]\cdot g^{ab}g_{ab}=4=\mathrm {tr} (\mathbf {g} ).$