QFT, QED, Allgemeine Relativität, elastisch, Materialgesetz, GUT, Gravitation, Wechselwirkungen

Untersucht werden die Transformationseigenschaften der Komponenten des Materialgesetzes unter Inversion des Vorzeichens [math]\displaystyle{ [S1] }[/math], welches wie folgt definiert ist^[1]:

[math]\displaystyle{ g_{\mu\nu}=[S1] \cdot \mathrm{diag}(-1,+1,+1,+1) }[/math]

Transformierte Grössen werden mit einem Akzent gezeichnet. Für die Metrik gilt also

[math]\displaystyle{ \overset{\smile}{g}_{\mu\nu}= - {g}_{\mu\nu} }[/math]

Christoffelsymbole unter Vorzeicheninversion der Metrik
Die Christoffelsymbole 2. Art

[math]\displaystyle{ \displaystyle \Gamma^k_{\ \ ij} = \frac{1}{2} g^{kl}(\partial_i g_{jl} + \partial_j g_{il} - \partial_l g_{ij}) =\overset{\smile}{\Gamma}^k_{\ \ ij} }[/math]

sind unabhängig von der Wahl des Vorzeichens [math]\displaystyle{ [S1] }[/math], da das Vorzeichen sowohl in [math]\displaystyle{ g_{\mu\nu} }[/math] als auch in [math]\displaystyle{ g^{\mu\nu} }[/math] wechselt, und die partielle Ableitung unter Vorzeichenwechsel der Metrik wie folgt transformiert:

[math]\displaystyle{ \partial_\mu \left( -g_{\mu\nu}\right) = -\partial_\mu \left( g_{\mu\nu}\right) }[/math]

Dadurch heben sich die Vorzeichen gegenseitig auf.

Riemann-Tensor unter Vorzeicheninversion der Metrik
Dadurch ist auch der Riemann-Tensor unabhängig von [math]\displaystyle{ [S1] }[/math], kann jedoch unabhängig davon mit positivem oder negativem Vorzeichen [math]\displaystyle{ [S2] }[/math] definiert werden:

[math]\displaystyle{ R^m_{\ \ ikp} = [S2] \cdot \left( \partial_k \Gamma^m_{\ \ ip} - \partial_p \Gamma^m_{\ \ ik} + \Gamma^a_{\ \ ip} \Gamma^m_{\ \ ak} - \Gamma^a_{\ \ ik} \Gamma^m_{\ \ ap} \right) = \overset{\smile}{R}^m_{\ \ ikp} }[/math]

Ricci-Tensor unter Vorzeicheninversion der Metrik
Auch der Ricci-Tensor ändert damit sein Vorzeichen nicht bei Änderung von [math]\displaystyle{ [S1] }[/math]. Sein Vorzeichen ist aber abhängig von der Definition des Riemann-Tensors und des Materialgesetzes:

[math]\displaystyle{ R_{\mu\nu} = [S2] \cdot [S3] \cdot R^\lambda_{\ \ \mu\lambda\nu} = \overset{\smile}{R}_{\mu\nu} }[/math]

Ricci-Skalar unter Vorzeicheninversion der Metrik
Jedoch der Ricci-Skalar, welcher direkt über die Metrik definiert ist, ändert sein Vorzeichen abhängig von [math]\displaystyle{ [S1] }[/math]:

[math]\displaystyle{ R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} = [S1] \cdot \mathrm{diag}(-1,+1,+1,+1) \cdot [S2] \cdot [S3] \cdot R^\lambda_{\ \ \mu\lambda\nu} = - \overset{\smile}{g}^{\mu\nu}\overset{\smile}{R}_{\mu\nu} = -\overset{\smile}{R} }[/math]

Einstein-Tensor unter Vorzeicheninversion der Metrik
Der spurinvertierte Ricci-Tensor (Einstein-Tensor) bleibt damit erhalten unter Änderung von [math]\displaystyle{ [S1] }[/math]:

[math]\displaystyle{ \displaystyle \varepsilon_{ij} = R_{ij} - \frac{1}{2}R g_{ij} = \overset{\smile}{R}_{ij} - \frac{1}{2}\overset{\smile}{R} \overset{\smile}{g}_{ij} = \overset{\smile}{\varepsilon}_{ij} }[/math]

Aber:

[math]\displaystyle{ \mathrm{tr}(\mathbf{\overset{\smile}{ε}}) = \overset{\smile}{g}^{ab}\overset{\smile}{\varepsilon}_{ab} = - g^{ab}\overset{\smile}{\varepsilon}_{ab} = - g^{ab}\varepsilon_{ab} = - \mathrm{tr}(\mathbf{ε}) }[/math]

Spannungs-Tensor unter Vorzeicheninversion der Metrik
Der Spannungstensor ist konstruiert als dyadischer Tensor aus zwei Vektoren, dessen beide Indizes auf kovariant gestellt werden. Beim Wechsel des Vorzeichens der Metrik [math]\displaystyle{ [S1] }[/math] wechseln beide Vektoren aus der Konstruktion das Vorzeichen, womit sich deren Vorzeichen-Änderungen aufheben. Damit bleibt der Spannungstenor unter Änderung von [math]\displaystyle{ [S1] }[/math] konstant:

[math]\displaystyle{ \mathbf{\overset{\smile}{σ}} = \mathbf{σ} }[/math]

Spur des Spannungs-Tensors unter Vorzeicheninversion der Metrik
Die Spur eines zweifach kovarianten Tensors wechselt das Vorzeichen unter Vorzeichenwechsel der Metrik, wenn der Tensor unter Vorzeichenwechsel der Metrik invariant bleibt:

[math]\displaystyle{ \mathrm{tr}(\mathbf{\overset{\smile}{A}}) = \overset{\smile}{g}^{ab} \overset{\smile}{A}_{ab} = \overset{\smile}{g}^{ab} A_{ab} = - g^{ab} A_{ab} = - \mathrm{tr}(\mathbf{A}) }[/math]

Dies gilt also auch für die Spur des Spannungs-Tensors.

Für die Spur der Metrik gilt jedoch in vier Dimensionen immer:

[math]\displaystyle{ \mathrm{tr}(\mathbf{\overset{\smile}{g}}) = \overset{\smile}{g}^{ab} \overset{\smile}{g}_{ab} = [S1] \cdot [S1] \cdot g^{ab} g_{ab} = 4 = \mathrm{tr}(\mathbf{g}). }[/math]