Anhang 3A: Übergang Makro ↔ Mikro

QFT, QED, Allgemeine Relativität, elastisch, Materialgesetz, GUT, Gravitation, Wechselwirkungen

Die Beschreibung des Materialgesetzes und die Ermittlung der Elastizitätskonstanten erfolgen in diesem Artikel im Modell des elastischen Kontinuums (makroskopische Ansicht). Demgegenüber wird die Beschreibung im elastischen Gitter hinzugezogen, um einen Punktdefekt zu Beschreiben (mikroskopische Ansicht).

In diesem Abschnitt soll nun der Übergang zwischen den beiden Modellen gemäss dem momentanen Stand des Wissens beleuchtet werden. Der Übergang beinhaltet einerseits einen Normierungsfaktor, welcher wie folgt bestimmt wird:

$k=k_{1}\cdot k_{2}={4\mu }^{\prime }c^{2}\cdot \left({2\mu }^{\prime }+{4\lambda }^{\prime }\right)\cdot e^{*}$

$[k]=m^{2}\qquad \qquad e^{*}=N^{2}s^{2}$

Andererseits – und vielleicht wichtiger – werden einige Näherungen und Annahmen gemacht, die den Übergang vereinfachen.

Der Übergang beinhaltet zwei Teile: Zum einen gibt es den bereits gut untersuchten Übergang vom Kontinuumslimit in das ungestörte elastische Gitter ($k_{1}$).

Im zweiten Teil geht es um den Übergang mit einem Punktdefekt, also zum elastischen Gitter mit Störung ($k_{2}$).

 

Übergang vom makroskopischen Modell zum ungestörten Gitter

Es stellt sich die Frage, wie die mikroskopischen Potentiale, die im linearen Gitter verwendet werden, mit den makroskopischen Elastizitätskonstanten zusammenhängen.

Dieser Übergang gelingt im Falle eines ungestörten elastischen Gitters und führt auf die Born-Huang-Bedingung, welche erlaubt, je nach Gitterstruktur die einzelnen Federkonstanten mit makroskopischen Grössen zu identifizieren.

Das Vorgehen ist relativ langwierig und kann z.B. in , nachgelesen werden. Für ein im Mittel isotropes Gitter (z.B. gemittelt über einen Radius von mehreren Elementarzellen) wird die Identifikation aber einfach, und es können mikroskopische Lamé-Koeffizienten (gekennzeichnet mit einer Tilde) wie folgt definiert werden:

$\displaystyle {\overset {\sim }{\mu }}={\frac {\mu }{\rho _{0}}}\qquad \qquad {\overset {\sim }{\lambda }}={\frac {\lambda }{\rho _{0}}}$

Wobei weiterhin im isotropen elastischen Medium gilt, dass (siehe ):

$\displaystyle \rho _{0}={\frac {\mu }{c^{2}}}={\frac {1}{4\mu ^{\prime }c^{2}}}={\frac {1}{k_{1}}}$

Und damit die Definition der mikroskopischen Kompressions- und Longitudinal-Module:

$\displaystyle {\overset {\sim }{K}}={\frac {K}{\rho _{0}}}=k_{1}K=4\mu ^{\prime }c^{2}K$

$\displaystyle {\overset {\sim }{M}}={\frac {M}{\rho _{0}}}=k_{1}M=4\mu ^{\prime }c^{2}M$

Wobei die mikroskopischen Grössen mit einer Tilde markiert sind.

 

Übergang vom makroskopischen Modell zum Defekt im Gitter

Beim Übergang bleibt der Faktor $k_{2}=\left(2\mu ^{\prime }+4\lambda ^{\prime }\right)$. Er wird aus der Normierung der Defektstärken ermittelt, indem ein einzelner, kleiner, isotroper Defekt betrachtet wird. Wir erinnern uns dazu an das in homogene und spurfreie Spannungsanteile aufgeteilte Materialgesetz:

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \mathbf{ε}=2\mu^\prime \cdot \mathbf{σ_\perp} + \left( 2\mu^\prime + 4\lambda^\prime \right) \cdot \mathbf{σ_\parallel} }

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \displaystyle \mathbf{σ_\parallel} = \frac{1}{4}\cdot \mathrm{tr}\left(\mathbf{σ} \right) \cdot \mathbf{g} \qquad \qquad \mathrm{tr}\left(\mathbf{σ_\perp} \right) = 0 \qquad \qquad \mathbf{σ}=\mathbf{σ_\parallel} + \mathbf{σ_\perp} }

Im Fall eines kleinen, isotropen Defekts wird der spurfreie Anteil des Spannungstensors null Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\mathbf{σ_\perp}=\mathbf{0})} , und der Spannungstensor wird äquivalent zum homogenen Anteil:

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \mathbf{σ}=\mathbf{σ_\parallel} \qquad \qquad \mathbf{ε}=\left( 2\mu^\prime + 4\lambda^\prime \right) \cdot \mathbf{σ} }

Auf der anderen Seite nimmt der Deformationstensor ebenfalls Diagonalgestalt an mit gleichem Eigenwert $\varepsilon$:

$\varepsilon _{ij}=\delta _{ij}\cdot \varepsilon \cdot \delta (\mathbf {x_{0}} )$

Andererseits ist der Deformationstensor definiert als:

$\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)$

Und im vorliegenden Fall eingesetzt:

$\displaystyle \varepsilon _{ij}=\delta _{ij}\cdot \varepsilon \cdot \delta (\mathbf {x_{0}} )=\delta _{ij}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=\delta _{ij}\varepsilon {\frac {\partial n_{i}}{\partial x_{i}}}$

Im letzten Ausdruck mit einem normierten Auslenkungsfeld, so dass $\varepsilon$ gerade der relativen Defektstärke entspricht.

Der Ausdruck für die Kraftdichte wird damit stark vereinfacht:

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \displaystyle \mathbf{F}=-\mathbf{\nabla σ}=\frac{\mathbf{\nabla ε}}{(2\mu^\prime + 4\lambda^\prime)} =\frac{-\varepsilon}{(2\mu^\prime + 4\lambda^\prime)} \delta_{ij} \frac{\partial}{\partial x_j} \left(\frac{\partial n_i}{\partial x_i}\right) =\frac{-\varepsilon}{(2\mu^\prime + 4\lambda^\prime)} \cdot \Delta \mathbf{n} =\frac{-\varepsilon}{k_2} \Delta \mathbf{n} }

Andererseits gilt für die Kraftdichte für einen kleinen Defekt im elastischen Gitter (Kapitel 2):

$\mathbf {F} _{Defekt,rel.}=-\xi \Delta _{d}\mathbf {u_{\alpha }}$

Normierungsbedingung ist nun, dass die Defektstärke in beiden Beschreibungen gleichbleibt:

$\varepsilon :=\xi$

Dies kann mittels des angegebenen Umrechnungsfaktors $k_{2}=\left(2\mu ^{\prime }+4\lambda ^{\prime }\right)$ beim Wechsel von der makroskopischen zur mikroskopischen Beschreibung erreicht werden.

 

Fazit

Der Übergang vom makroskopischen zum mikroskopischen Modell wird nach dem momentanen Wissensstand des Autors aufgezeigt. Die Resultate mögen noch nicht im Detail gesichert sein, es sollen aber folgende wichtige Punkte aufgezeigt werden:

• Näherungen: Im mikroskopischen Modell werden kleine, isotrope Defekte behandelt. Dies bedeutet eine extreme Vereinfachung des makroskopischen Modells, wo die Defektform beliebig wählbar ist.
• Vorfaktor: Die Elastizitätskonstanten stimmen im mikroskopischen wie im makroskopischen Modell bis auf einen konstanten Faktor überein. Mathematisch gesehen kann dieser Faktor im mikroskopischen Modell beliebig gewählt werden, da die Lösungen des Differentialgleichungssystems jeweils nur bis auf einen konstanten Faktor bestimmbar sind.

Die hier gezeigte Behandlung soll mittels physikalischer Überlegungen plausibilisieren, dass es sich bei dem konstanten Faktor um den Term $k=k_{1}\cdot k_{2}=4\mu ^{\prime }c^{2}\ \cdot \left(2\mu ^{\prime }+4\lambda ^{\prime }\right)$ handelt.

 

Verweise

 

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